150 Die griechische Mathematik: 



satze iiber ahnliche Dreiecke ; diese werden bewiesen durch 

 Konstruktion eines Dreiecks, das deni einen gegebenen 

 ahnlich und dem anderen kongruent wird. Sie werden 

 sofort (in 8) auf ein rechtwinkeliges Dreieck angewandt 

 und auf die beiden Dreiecke, worin dieses durch die Hohe 

 auf die Hypotenuse geteilt wird. 



9 13 enthalten die Teilung einer Strecke in gleiche 

 oder proportionale Teile, sowie die Konstruktion der drit- 

 ten Proportionale (d. h. der vierten zu a, b und b), der 

 vierten und der mittleren Proportionale. Die letzte Kon 

 struktion ist dieselbe, die schon in II, 14 auf Grundlage 

 der geometrischen Algebra angewandt wurde zur Bestim- 

 mung der Seite eines Quadrates, das einem gegebenen 

 Rechteck gleich war. 



Darauf kommen in 1423 die Satze iiber das Ver 

 haltnis zwischen den Flacheninhalten von Figuren. Den 

 Hauptsatz 23 iiber die Flacheninhalte gleichwinkeliger 

 Parallelogramme haben wir schon besprochen. Im Be- 

 weise (19) dafiir, dass das Verhaltnis ahnlicher Dreiecke 

 - wie wir sagen - - gleich dem Quadrate des Verhalt- 

 nisses zwischen zwei homologen Seiten ist, wird das Ver 

 haltnis a : b zwischen diesen beiden, um mit sich selbst 

 zusammengesetzt werden zu konnen, auf die Form b : c 

 gebracht, so dass das quadratische Verhaltnis a : c wird. 

 Die Satzgruppe enthalt auch noch (in 16) den Satz, dass 

 in einer Proportion das Rechteck aus den ausseren Glie- 

 dern gleich demjenigen aus den inneren Gliedern ist. 



Am Schlusse des Buches werden demnachst in 28 

 und 29 die durch Hiilfe der Proportionslehre verallgeniei- 

 nerten Flachenanlegungen behandelt. Eine von der 

 Proportionslehre unabhangige Verallgemeinerung besteht 

 darin, dass die Rechtecke mit Parallelogrammen von einem 

 beliebig gegebenen Winkel vertauscht werden; da aber 

 diese letzte Verallgemeinerung ohne Einfluss ist auf die 



