16. Die allgemeine Lehre von den Proportionen. 153 



Satz 31 enthalt die Erweiterung des pythagoreischen 

 Lehrsatzes auf beliebige ahnliche Figuren uber den Seiten 

 eines rechtwinkeligen Dreiecks. Durch diesen Satz, der 

 von Euklid personlich herrlihren soil, lasst sich die 

 Subtraktion und Addition von Figuren bei den Flachen- 

 anlegungen in 28 und 29, wenn B als dem Rechteck c d 

 ahnlich gegeben oder ihm ahnlich geniacht ist, mit Hulfe 

 eines rechtwinkeligen Dreiecks ausfiihren. 



In 33, dem letzten Satze des Buches, wird bewiesen, 

 dass Kreisbogen und die darauf stehenden Centri- und 

 Peripheriewinkel proportional sind. 



Wie man sieht, enthalten das 5te und 6te Buch die 

 notwendige Grundlage fur eine exakte und vollkommen 

 allgemeine Behandlung solcher Aufgaben, die in unserer 

 Algebra von Gleichungen des ersten und zweiten Grades 

 abhangig sind, durch die Lehre von den Proportionen 

 und durch diese in Verbindung mit geometrischer Alge 

 bra. Dass man wirklich diese Grundlage benutzt hat, 

 das ergiebt sich aus den vorliegenden weitergehenden 

 Arbeiten, wie aus der geometrisch-algebraischen Behand 

 lung der Lehre von den Kegelschnitten bei Apollonius 

 und aus einer grossen Menge von den Untersuchungen, 

 die uns Pappus aufbewahrt hat. Dass man sich sogar 

 ausdrucklich fur solche algebraische Arbeit riistete, erkennt 

 man aus verschiedenen Satzen in Euklid s Data, die eine 

 Menge Aufgaben von der angefuhrten Art und in den 

 angefiihrten Formen nennen, deren Losung zweck- 

 massigerweise wahrend der fortgesetzten analytischen Ar 

 beit als so bekannt betrachtet wird, dass es geniigt, die 

 neuen Aufgaben darauf zurackzufuhren. 



Was wir als eine Gleichung ersten Grades mit all- 

 gem einen Koefficienten schreiben wiirden, das wird in 

 den Data der allgemeinen Giiltigkeit wegen als eine Pro 

 portion ausgedruckt. Um nur ein Beispiel statt vieler zu 



