17. Kommensurable Grossen; Euklid VII IX. 



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17. Kommensurable Grossen und ihre Behandlung 

 durch Zahlen; Euklids 7, 9, Buch, 



Im 7ten Buche wird eine Einheit eingefiihrt, wo- 

 durch die Grossen, die sie misst, durch ganze Zahlen 

 ausgedriickt warden. In diesem und den beiden folgen- 

 den Biichern werden dann ganze Zahlen, sowie ihre Ver- 

 haltnisse und andere Verbindungen zwischen ihnen be- 

 handelt. Im 7 ten Buche begegnen wir fiir ganze Zahlen 

 solchen Satzen iiber Proportionen, die im 5ten Buche 

 bereits auf allgemeingultige Weise bewiesen sind. Zur Er- 

 klarung dessen dient der Umstand, dass die allgemein 

 gultige Proportionslehre des 5ten Buches ziemlich neu 

 und deshalb noch nicht geniigend entwickelt war, um 

 auf alien den Gebieten, die sie in der Wirklichkeit um- 

 fasst, zu Grunde gelegt zu werden. Dadurch ist uns die 

 Proportionslehre des 7ten Buches uberliefert worden als 

 eine Probe von der alteren Behandlungsweise, bei der 

 noch keine Riicksicht auf die Moglichkeit genommen 

 wurde, dass die Glieder der Verhaltnisse inkommensurabel 

 sein konnen. 



Dass die Lehre von den Verhaltnissen zwischen ganzen 

 Zahlen als einbegrifien in der bereits entwickelten all- 

 gemeineren Lehre nicht einfach fortgelassen werden konnte, 

 beruht darauf, dass bei den ganzen Zahlen auch noch 

 andere Riicksichten zu nehmen waren, namentlich auf 

 Fragen nach der Teilbarkeit und auf die Reduktion von 

 Zahlenverhaltnissen auf die moglichst kleine Zahl. Das 

 zeigt sich sofort dadurch, dass fiir Zahlen eine neue 

 Definition der Proportion alitat gegeben wird, nam- 



a c 



lich in Def. 20. Nach dieser ist = , wenn a und c 



o a 



itweder dieselben Vielfachen, oder derselbe aliquote Teil 



