156 Die griechische Mathematik : 



oder dieselben aliquoten Teile von b und d sind, d. h. 

 wenn gleichzeitig a = m . und c = m . . Was die Gleich- 



heit der Verhaltnisse betrifft, so enthalt diese Definition 

 allerdings nichts anderes, als was schon in der 5ten De 

 finition des 5ten Buches embegriffen ist; indessen wird 

 man doch bald sehen, dass durch die Art und Weise, 

 wie sie gebraucht wird, eine nicht unwichtige Vorausset- 

 zung hineingebracht wird. 



In den Satzen 1 3 werden die bekannten Regeln fiir 

 die Bestimmung des grossten gemeinschaftlichen Maasses 

 aufgestellt und bewiesen. Direkt wird bewiesen, dass 

 man ein gemeinschaftliches Maass erhalt, und antithetisch, 

 dass man das grosste erhalt. In 4 wird bewiesen, dass 

 man, wenn a und b ganze Zahlen sind und / ihr grosstes 

 gemeinschaftliches Maass, immer schreiben kann a = mf, 



b = nf und dadurch a = m . . Ist a &amp;lt;&amp;lt; b, so wird m ]&amp;gt; 1, 



n &amp;gt; 1. Durch diese Bestimmung werden m und n relativ 

 prim. Priift man nun auf der Grundlage dieser Bestim- 



a c 

 mung, ob nach Definition 20 T-^-TI so bringt man zu- 



gleich die Voraussetzung hinein, dass, wenn es der Fall 



ist, in c = m . der letzte Faktor eine ganze Zahl ist, dass 

 n n 



also n, wenn es in einem Produkt m . d aufgeht und relativ 

 prim gegen den einen Faktor m ist, in dem anderen Fak 

 tor d aufgehen muss. Dieser Fundamental satz der Zahlen- 

 theorie ist also bereits in die Voraussetzungen hinein- 

 gelegt, und es ist folglich nicht von grosser theoretischer 

 Bedeutung, wenn Euklid spater auf der Grundlage von 

 diesen mehrere darin einbegriffene Satze beweist, wie in 

 30 den Satz, dass eine Primzahl, die in einem Produkt 

 aufgeht, in einem der Faktoren aufgehen muss. Die er- 



