17. Kommensurable Grossen; Euklid VII IX. 



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wahnten Voraussetzungen sind namentlich in Satz 20 be- 



d 



nutzt, der aussagt, dass, wenn = und c und d so 



o d 



klein wie moglich sind, c in a und d in b aufgeht; dieser 

 Satz bildet ein wichtiges Glied in der Beweisfiihrung, durch 

 die man zu Satz 30 gelangt. 



Wie bekannt benutzt man in einem wirklichen Beweise fur 

 den genannten Fundamentalsatz den Umstand, dass, wenn a und 

 b relativ prim sind, k der grosste gemeinschaftliche Faktor fiir k a 

 und k b ist, ein Satz, der aus den Regeln fiir die Bestimmung des 

 grossten gemeinschaftlichen Faktors folgt, der aber von Euklid 

 nicht mitgenommen wird. Was man bei Euklid vermisst, das ist 

 ein Beweis dafiir, dass die in 4; beschriebene Umformung von a 



in m . die einzige ist, fiir die in und n relativ prim sind. 



Aus dem Gesagten ergiebt sich allerdings, dass Eu 

 klid den Grand fiir die Lehre von den ganzen Zahlen 

 nicht so tief legt wie den fur die Geometric und fiir die 

 Lehre von den allgemeinen kontinuierlichen Grossen; die 

 Sorgfalt aber, mit der im iibrigen die zahlreiche Reihe 

 von wesentlich theoretischen Satzen dargestellt und be- 

 griindet wird, zeugt dennoch sowohl von einem richtigen 

 Blick dafiir, dass auch die Arithmetik einer exakten Be- 

 handlung bedarf, als auch von einer Benutzung derjenigen 

 Operationen, auf deren Theorie soviel Miihe verwandt 

 wird. Die drei arithmetischen Biicher haben jedoch keine 

 so grosse und grundlegende Bedeutung fiir die Mathema- 

 tik bis zu unseren Tagen erhalten wie die vorhergehenden 

 und Teile von den folgenden; deshalb wollen wir uns 

 hier mit ganz wenigen Bemerkungen iiber ihren ferneren 

 [nhalt begniigen. 



Die Lehre von den Verhaltnissen im 7ten Buch wird 

 der Hauptsache nach eine Darstellung der wichtigsten 

 allgemeinen Satze, die bei der Rechnung mit Briichen 



