158 Die griechische Mathematik: 



benutzt werden. (Deshalb haben wir auch im Gegensatz 

 zu unserer Wiedergabe des 5ten Buches die Verhaltnisse 

 als Briiche geschrieben). 



Die fortlaufenden Proportionen, die im 8ten und 

 9 ten Buche behandelt werden, sind, wie wir bereits er- 

 wahnt haben, die antike Form fur geometrische Reihen, 

 hier rnit ganzen Gliedern. Die Verhaltnisse zwischen 

 Gliedern einer solchen Reihe mit verschiedener Stellzahl 

 sind die antike Form fiir die verschiedenen Potenzen 

 von ganzen Zahlen und Brlichen. Einzelne Satze iiber 

 Wurzeln entstehen durch Einschaltung von mittleren Pro- 

 portlonalen. 



Die bedeutendsten zahlentheoretischen Satze, die er- 

 reicht werden, sind die Satze 20 und 86 des 9ten Buches. 

 Im ersten wird die Unendlichkeit der Reihe der Prim- 

 zahlen dadurch bewiesen, dass das Produkt der ersten 

 Primzahlen -f- 1 entweder eine hohere Primzahl ist oder 

 eine solche als Faktor enthalt. Der zweite sagt aus, dass 

 das Produkt 



(1 + 2+ 2 2 4- ... + 2&quot;).2 W , 



wenn der erste Faktor eine Primzahl ist, eine voll- 

 kommene Zahl wird, d. h. eine solche, die gleich der 

 Summe aller ihrer Faktoren ist. Die Richtigkeit ist leicht 

 dargethan, da - wie bereits fruher (S. 147) erwahnt 

 wurde - - die dazu notwendige Summation von geome- 

 trischen Reihen in Satz 35 dargestellt ist. 



18, Inkommensurable Grosser) ; Euklids lOtes Buch. 



Wenn wir bei der Besprechung des lOten Buches, 

 des umfangreichsten der Elemente, auch nicht sehr ins 

 Einzelne gehen, so geschieht das nicht etwa, weil die 

 durin niedergelegte Arbeit, die von Theatet begonnen 



