1(50 Die griechische Mathematik : 



zu bestimmen. Die Inkornmensurabilitat wird damn er- 

 kannt, dass diese Operation sich bis ins Unendliche fort- 

 setzen lasst, wahrend die successive!! Reste bis ins Un 

 endliche oder unter jede gegebene Grenze abnehmen. 

 Dieses Abnehmen bis ins Unendliche wird mit derselben 

 wissenschaftlichen Strenge genommen wie jede Unendliche 

 Annaherung bei den Alten. Das geschieht auch hier mit 

 Hiilfe der 4ten Definition des 5ten Buches, die in Satz 1 

 dahin urngeformt wird, dass man, indem man von einer 

 gegebenen Grosse mehr als die Halfte subtrahiert, und 

 von jedem folgenden Reste wiederum mehr als die Halfte, 

 schliesslich zu einer Grosse gelangen kann, die unter jeder 

 gegebenen Grenze liegt. Mit diesem Satz als Ausgangs- 

 punkt werden zuerst einige allgemeine Untersuchungen 

 irrationaler Grossen, ohne Riicksicht auf ihre Entstehung, 

 vorgenommen, und ebenso Untersuchungen von hieraus 

 gebildeten neuen irrationalen Grossen. Dann kommen 

 besondere Untersuchungen iiber Quadratwurzeln, darunter 

 auch die friiher beriihrten Untersuchungen iiber diejenigen 

 Falle, in denen diese sich als rational ergeben, nament- 

 lich iiber rationale rechtwinkelige Dreiecke. Die Formen 

 fiir irrationale Grossen, die ferner aufgestellt werden, sind 

 vierte Wurzeln aus rationalen Grossen und Ausdriicke 

 von der Form p + V P 2 , VjpM-~2l&amp;gt;i V^ V^ 

 sowie die Quadratwurzeln aus diesen Ausdriicken, oder 

 richtiger, wie wir an einem Beispiel sehen werden, ge- 

 wisse Umformungen dieser Quadratwurzeln in Summen 

 oder Differenzen. Die Glieder der letzteren werden durch 

 Gleichungen von der Formen a? 2 -\- z/ 2 = a, x . y = b, wo 

 a und b schon selbst eine gegebene Form haben, bestimmt. 

 Ausser den Definitionen der verschiedenen Klassen 

 irrationaler Grossen besteht die Arbeit, welche Euklid 

 hier ausgefiihrt hat, im wesentlichen in Beweisen dafiir, 

 dass die gebildeten Grossen irrational und im allgemeinen 



