19. Stereometrie; Euklid XI und XIII. 165 



weitlaufig wird, beruht darauf, dass ausdrucklich nach- 

 gewiesen werden muss, dass die doppelte Irrationalitat 

 sich nicht aufheben lasst, denn in solchem Falle wurde 

 die irrationale Grosse zu einer anderen Klasse gehoren. 



In 12 wird die Dreiecksseite bestimmt, und in 13 

 wird ein regulares Tetraeder konstruiert und gezeigt, dass 

 die Kante k gleich d V| ist, wenn d den Durchmesser 

 der umbeschriebenen Kugel bedeutet. 



In 14 wird ein regulares Oktaeder konstruiert und 

 nachgewiesen, dass k=d}/^. 



In 15 wird ein regulares Hexaeder konstruiert und 

 nachgewiesen, dass k = d^^. 



In 16 wird ein regulares Ikosaeder konstruiert und 

 durch Ausfuhrung der wirklichen Berechnung gezeigt, dass 

 die Kante eine kleinere Irrationale ist. 



In 17 wird ein regulares Dodekaeder konstruiert und 

 durch Ausfuhrung der wirklichen Berechnung bewiesen, 

 dass seine Kante unter die irrationalen Grossen gehort, 

 die Apotomen genannt werden. 



18 zeigt an einer und derselben Figur die Konstruk- 

 tionen der verschiedenen Kanten. Diese Figur wird be- 

 nutzt um sie unter einander zu vergleichen. 



Die Konstruktionen zeigen, dass die 5 regularen 

 Polyeder wirklich existieren. Im Schlusssatze des Buches 

 wird der Beweis hinzugefiigt, dass sie die einzig mog- 

 lichen sind. 



Die meisten Ausgaben von Euklid enthalten noch 

 ein sogenanntes 14tesBuch, das von dem etwas spateren 

 [athematiker Hypsikles herruhrt, und ein gewiss viel 

 jiingeres 15tes Buch. Man hat sie als Anhange zum 

 luklid aufgefasst, weil sie ebenso wie dessen letztes 

 5uch von regularen Polyedern handeln. Das Buch des 

 iypsikles ist in der That eine weitergehende Behand- 

 lung dieses Gegenstandes. Als Beispiel fur die darin 



