

20. Der Exhaustionsbeweis ; Euklid XII. 



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men, dass sie ihren eigenen Namen verdient. Wir wollen 

 den Namen gebrauchen, den man ihr im 17ten Jahr- 

 hundert gegeben hat, und sie den Exhaustionsbeweis 

 nennen. Dieser wird auf der Voraussetzung aufgebaut, 

 die in der 4ten Definition des 5ten Buches aufgestellt ist, 

 oder gewohnlich mehr unmittelbar auf dem daraus ab- 

 geleiteten Satz 1 des lOten Buches, dass man, wenn 

 man von einer Grosse die Halfte oder rnehr als 

 die Halfte wegnimmt und diese Operation eine hin- 

 reichende Anzahl von Malen wiederholt, schliess- 

 lich zu einer Grosse gelangen kann, die kleiner 

 ist als irgendwelche gegebene Grosse derselben 

 Art. (In der modernen Sprache: Lim a . /5 . y . . . = 0, 

 wenn a, ?...&amp;lt;). 



Wir wollen den Exhaustionsbeweis kennen lernen aus 

 seiner ersten Anwendung bei Euklid, wo er in XII, 2 

 benutzt wird um zu beweisen, dass die Flachen zweier 

 Kreise sich wie die Quadrate ihrer Durchmesser verhalten. 

 Im vorhergehenden Satz 1 ist bewiesen, dass ahnliche 

 einbeschriebene . Polygone sich wie die Quadrate ihrer 

 Durchmesser verhalten. Man kann dann, wenn man sich 

 kurz ausdriicken will, sagen, dass der Beweis fiir 2 darin 

 besteht, die Kreise als Grenzen fiir solche Polygone zu 

 betrachten. Die Zuverlassigkeit dieses Grenziiberganges 

 wird durch den Exhaustionsbeweis gewahrleistet. Die 

 hierzu dienende Anwendung von X, 1, welche erst im 

 Beweise selbst vorkommt, lauft in diesem Falle darauf 

 hinaus, dass man in einen Kreis ein Polygon mit so 

 vielen Seiten beschreiben kann, dass die Differenz zwischen 

 diesem und dem Kreise kleiner wird als irgendwelche 

 3gebene Grenze. Die Dreiecke, die man bei einer Ver- 

 loppelung der Seitenzahl von den Segmenten abzieht, 

 ms denen diese Differenz besteht, sind namlich halb so 



