170 Die griechische Mathematik: 



man damit fort, so wird man auf diese Weise als Nahe- 

 rungswerte fur die Pyramide die Summe der 2 ersten, 

 der 4 folgenden, der 8 folgenden u. s. w. Prismen er- 

 halten. Man sieht, dass die Prismen, die man jedesmal, 

 wenn man zu einer neuen Annaherung iibergeht, von der 

 Pyramide fortnimmt, mehr als die Halfte von dem be- 

 tragen, was iibrig bleibt; die beiden kleinen Pyramiden, 

 die bei der Teihing einer Pyramide entstehen, sind nam- 

 lich kleiner als die beiden Prismen, da sie sich so legen 

 lassen, dass sie nur Teile von diesen ausmachen. 



Hat man nun zwei Pyramiden, A mid B, von der- 

 selben Hohe, und benutzt man als Naherungswerte fur 

 diese die Prismensummen A und B 1 , die dadurch gebildet 

 werden, dass man bei beiden Pyramiden gleich weit in 

 der Teilung gegangen ist, so kommt es (in 4) nur darauf 

 an zu zeigen, dass A : B f gleich dem Verhaltnis zwischen 

 den Grundflachen (Fund G) ist. Das ergiebt sich, wenn 

 wir fiir die beiden Pyramiden die Summen der beiden 

 ersten Prismen u l und v l nennen, die der 4 bei der fol 

 genden Teilung entstehenden u% und v 2 , die der 8 nach- 

 sten u 3 und v 3 u. s. w., durch den Beweis, dass 



F: G = u 1 : V-L = U 2 :v 2 =u 3 : v 3 . . . = A : B . 



Der Exhaustionsbeweis liefert dann in 5, dass 



A:B=F:G. 



Die Bedeutung des hier benutzten Verfahrens erkennt 

 man am besten, wenn man beachtet, dass der Satz 3 die 

 Bedingungen liefert, die nach X, 1 gewahrleisten, dass 



A = u l -f- u 2 -|- u 3 -f- u. s. w. bis ins Unendliche. 



Diese Betrachtung ruft den Wunsch hervor, die kon- 

 vergente Reihe genauer zu untersuchen. Man sieht nun 

 leicht, und teilweise wird das auch von Euklid in XII, 4 

 benutzt, dass jedes von den beiden gleich grossen Prismen 



