20. Der Exhaustionsbeweis; Euklid XII. 



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in u, zweien von den 4 gleich grossen Prismen in u 2 

 ahnlich ist, und so fort, woraus sich ergiebt, dass u 2 = 1 u lt 

 u 3 = J u 2 u. s. w., oder dass 



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wenn w ein Prism a bedeutet von derselben Hohe und 

 Grundflache wie die Pyrarnide P. Fur die Richtigkeit 

 dieses Satzes lasst sich leicht ein Exhaustionsbeweis 

 fiihreii. 



Dieses Verfahren wendet Euklid allerdings nicht an. 

 Wenn wir es nichtsdestoweniger fur wert gehalten haben, 

 es hier anzufiihren, wo wir nicht nur die Verfahrungsarten 

 Euklids, sondern uberhaupt die der Alten kennen lernen 

 wollen, so geschieht das deshalb, weil Archimedes 

 wirklich, wie wir bald erwahnen werden, ganz die- 

 selbe Summation einer unendlichen Reihe an- 

 wendet um die Flache eines Parabelsegmentes zu finden. 

 Statt dieser Summation wendet Euklid in Satz 7 

 die bekannte Teilung eines dreiseitigen Prismas in drei 

 Pyramiden an, um den Inhalt der dreiseitigen Pyramide 

 zu finden. Es ist iiberflussig, beim Ubergange zu mehr- 

 seitigen Pyramiden, sowie beim Ubergange von Prismen 

 und Pyramiden zu Cylindern und Kegeln zu verweilen; 

 der letztere wird mit Hiilfe des Exhaustionsbeweises voll- 

 zogen. 



Schwieriger ist der in 18 hergestellte Beweis dafiir, 

 dass zwei Kugeln sich wie die Kuben der Radien ver- 

 halten, denn hier kann man nicht so einfache Naherungs- 

 werte bilden wie bei den Kreisflachen. Als Vorbereitung 

 lafiir wird die Aufgabe (17) gelost: in eine Kugel ein 

 ^lyeder zu beschreiben, das eine kleinere koncentrische 

 lugel ganz umschliesst. Diese Aufgabe wird folgender- 

 mssen gelost. In einen grossten Kreis der grosseren 

 Kugel (wir wollen ihn Aquator nennen) wird ein regulares 



