172 Die griechische Mathematik : 



Polygon von gerader Seitenzahl (2 n) so beschrieben, dass 

 es den in derselben Ebene liegenden grossten Kreis der 

 kleineren Kugel ganz umschliesst. Darauf wird in den 

 Aquator der grossen Kugel ein regulares Polygon von 

 doppelt so vielen Seiten (4 n) beschrieben. Durch dessen 

 Ecken und den Pol des Aquators werden neue grosste 

 Kreise (Meridiane) gelegt, welche vom Schnittpunkt mit 

 dem Aquator an in ebenso viele Teile (4 n) wie der Aquator 

 geteilt werden. Die Teilpunkte werden dann Eckpunkte 

 des gesuchten Polyeders sein, dessen Seitenflachen Tra 

 peze und Dreiecke werden, von denen die Dreiecke um 

 die Pole herum liegen. Aus Euklids vollstandigem Be- 

 weise geht hervor, dass er diese Losung hat geben wollen, 

 wenn es auch nicht diese, sondern eine andere unrichtige 

 Losung ist, die in dem nun vorliegenden Texte dem Be- 

 weise vorangeht. 



Hier hat man allerdings nicht eine Reihe Naherungs- 

 werte fiir die Kugeln, aber der Exhaustionsbeweis lasst 

 sich dennoch wie friiher fuhren. Sind namlich A und B 

 die gegebenen Kugeln, a und b ihre Radien, und ist C 

 eine zu B koncentrische Kugel bestimmt durch die Glei- 

 chung 



A: C=a 3 :6 3 , 



so kann man, wenn C &amp;lt; B, in B ein Polyeder B be- 

 schreiben, das C ganz umschliesst, und in A ein diesem 

 ahnliches Polyeder A . Diese werden dann ebenso be- 

 nutzt wie die Grossen, die wir in dem friiher gefiihrten 

 Exhaustionsbeweise A und B genannt haben. 



Um zu voller Klarheit iiber den logischen Wert des 

 Exhaustionsbeweises zu gelangen, wird es niitzlich sein, 

 ihn mit modernen Arten der Betrachtung zu vergleichen. 

 Wenn auch die Alten solche Ausdriicke wie Grenzwert 

 einer unencllichen Annaherung durchaus vermeiden, so 



