20. Der Exhaustionsbeweis ; Euklid XII. 



173 



sind es dennoch, wie schon angefiihrt, in der That solche 

 Werte, die man durch den Exhaustionsbeweis bestimmt. 

 Es ist sogar der exakte Grenzbegriff, der der ganzen 

 Untersuchung zu Grunde gelegt wird, da verlangt wird, 

 dass die (endliche) Annaherung so weit soil gebracht 

 werden konnen, dass die Abweichung des Naherungswertes 

 vorn Grenzwerte kleiner wird als jede gegebene Grosse. 

 Der Exhaustionsbeweis ist ein exakter, antithetischer Be- 

 weis fur die Eindeutigkeit dieser Bestimmungsart, oder 

 dafiir, dass zwei Grossen, die auf diese Weise Grenzen 

 fiir dieselben Naherungswerte werden, gleich gross sind. 

 Er ist ein notwendiges Glied in jeder vollstandigen Infini- 

 tesimaluntersuchung, und zudem ist er nichts anderes als 

 ein solches Glied, weshalb man sagen kann, dass da, wo 

 es einen Exhaustionsbeweis giebt, auch eine Infinitesimal- 

 untersuchung vorhanden ist, namlich die, die zu dem 

 Resultat fiihrt, dessen Richtigkeit hinterher bewiesen 

 wird. 



Die Innnitesimaluntersuchungen, die man bei den 

 alten Autoren da findet, wo sie den Exhaustionsbeweis be- 

 nutzt haben, lassen sich auch auf bestimmte von den infmi- 

 tesimalen Methoden zuruckfiihren, die man jetzt anwendet. 

 So kann man sagen, dass nicht nur die Pyramiden bei 

 Euklid XII, 5 und das Parabelsegment bei Archimedes, 

 sondern auch die Kreise im Satze XII, 2 durch konver- 

 gente Reihen bestimmt sind, und Archimedes benutzt, 

 wie wir sehen werden, solche Summen von unendlich 

 vielen unendlich kleinen Grossen, die wir jetzt bestimmte 

 Integrale nennen. Der Exhaustionsbeweis macht die An- 



rendung von diesen vollkommen exakt. Die Alten gehen 

 jedoch in den iibeiiieferten Schriften so ganz darin auf 



liese Exaktheit in jedem einzelnen Falle sicher zu 

 stellen, dass kein Raum dafiir bleibt diejenigen Methoden, 

 die sie benutzen um die Resultate zu fin den, iiber den 



