174 Die griechische Mathematik: 



augenblicklichen Bedarf hinaus zu entwickeln und andere 

 neue Methoden zu bilden. 



Als im 17ten Jahrhundert die Infmitesimalunter- 

 suchungen namentlich im Anschluss an Archimedes 

 Schriften wieder aufgenommen wurden, kam es haupt- 

 sachlich darauf an, nicht nur seine Begriindung der Re- 

 sultate zu verstehen, sondern zugleich zu sehen, wie diese 

 und neue sich fin den liessen, also Methoden hierfiir zu 

 entwickeln. Man fuhr jedoch fort die nach und nach 

 gewonnenen Resultate zum grossen Teil entweder durch 

 wiederholte Anwendungen des Exhaustionsbeweises sicher 

 zu stellen, oder ihnen doch Zutrauen zu verschaffen durch 

 die Bemerkung, dass dieser Beweis sich wiirde benutzen 

 lassen. So verfuhr z. B. Fermat, und man fuhr sogar 

 darnit fort, nachdem die Differential- und Integralrech- 

 nung durch Newton und Leibnitz begriindet worden 

 war. Als man sich allmahlich mehr in die Benutzung 

 der Methode zur Auffindung neuer Resultate vertieft und 

 sich im Umgehen mit unendlich kleinen Grossen Routine 

 erworben hatte, vergass man jedoch oft die logische Sicher- 

 stellung, die der Exhaustionsbeweis zu geben bestimmt 

 war. Man betrachtete unendlich kleine Grossen als hin- 

 reichend definiert durch ihren Namen, und es konnte 

 wohl vorkommen, dass einer sich soweit vergass, eine 

 Grosse als durch eine unendliche Reihe definiert zu be- 

 trachten, ohne sich von ihrer Konvergenz iiberzeugt zu 

 haben. 



Erst in unserem Jahrhundert haben die Forderungen 

 nach Exaktheit, denen die Alten durch den Exhaustions 

 beweis geniigten, wieder voile Anerkennung gefunden. 

 Man erfiillt sie eben dadurch, dass man fur die Existenz 

 und Eindeutigkeit der Grenzwerte solche Beweise fiihrt, 

 die im wesentlichen mit dem Exhaustion sbeweise zu- 

 sammenfallen. Nur fiihrt man diesen jetzt - - und dass 



