20. Der Exhaustionsbeweis; Euklid XII. 



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man das kann, deuteten wir bereits bei der ersten An- 

 wendung des Exhaustionsbeweises an ein fiir alle- 

 mal oder wendet ihn doch nur an bei der Behandlung 

 so allgemeiner BegrifTe, wie es die Summe einer unend- 

 lichen Reihe oder ein bestimmtes Integral sind, wahrend 

 man ihn im Altertum fiir jede einzelne Anwendung wieder- 

 holte. 



Eine nicht unwesentliche Formverschiedenheit, die 

 allerdings die Stringenz der Schlusse unberiihrt lasst, aber 

 von dem verschiedenen Ausgangspunkt herriihrt, ist jedoch 

 vorhanden zwischen der Behandlung dieser Fragen im 

 Altertum und in der Gegenwart. Sie trat bereits hervor, 

 als im allgemeinen die Rede war von der Kontinuitat der 

 Grossen. Das Vorhandensein dieser wurde von den Alten 

 unmittelbar vorausgesetzt durch die geometrisch dar- 

 gestellten Grossen in Euklids vier ersten Biichern, und 

 erst hinterher lernt man im 5ten Buche arithmetische 

 Mittel kennen, die sich auch benutzen lassen um Grossen 

 zu vergleichen, die nicht kommensurabel sind. Nun da- 

 gegen stellt man vielmehr diese arithmetische Grossen- 

 bestimmung an die Spitze und wendet sie erst nachher 

 an auf die mehr empirischen, kontinuierlich variierenden 

 Grossen. Ebenso wird man jetzt oft den konvergenten 

 arithmetischen Naherungsprocess, durch den die Flache 

 einer ebenen Figur, z. B. eines Kreises, oder ein Volumen, 

 z. B. einer Pyramide, bestimmt wird, voranstellen und 

 als Definition fiir Flacheninhalt oder Volumen benutzen. 

 Die Alten dagegen betrachteten jede ebene Flache und 

 jedes Volumen als definiert durch die allgemeinen Grossen- 

 iome, die wir in Euklids erstem Buche kennen gelernt 

 laben. So wurde der Satz, class der Kreis grosser ist 

 Is jedes einbeschriebene und kleiner als jedes umbeschrie- 

 me Polygon, eine unmittelbare Folge des 8ten Axiomes. 

 LUS den Axiomen des ersten Buches wurden die Nahe- 



