176 Die griechische Mathematik: 



rungsprocesse abgeleitet, die damals fur die Bestimmungen 

 angewandt wurden und jetzt fur die Definitionen ange- 

 wandt werden. Die Ubereinstimmung besteht darin, dass 

 man damals ebenso wie jetzt sichere Beweise fiir die 

 Kon verge nz dieser Processe verlangte. 



Die allgemeinen Grossenaxiome reichen indessen nicht 

 aus, wenn es darauf ankommt die Lange einer krummen 

 Linie oder den. Inhalt einer krummen Flache zu bestim- 

 men. Deshalb halt man es jetzt fiir besonders notwendig, 

 diese BegrifTe durch eben den Naherungsprocess zu defi- 

 nieren, durch den die Grossen faktisch bestimmt werden. 

 Es zeigt sich, dass wenigstens Archimedes fiir die hier 

 beruhrte Schwierigkeit ein offenes Auge gehabt hat. Er 

 sucht ihr nicht abzuhelfen durch formelle Definitionen 

 der genannten Begriffe, sondern statt dessen stellt er nach 

 Weise der Alten ausdrucklich die Voraussetzungen auf 

 - postuliert sie , die er ausser den allgemeinen 

 Voraussetzungen iiber Grossen in den Naherungsprocessen, 

 wodurch die Grossen bestimmt werden, und in den Be- 

 weisen fiir die Konvergenz dieser Processe anwendet. 

 Diese Voraussetzungen werden als Postulate zu seiner 

 Schrift iiber die Kugel und den Cylinder aufgestellt. Sie 

 sagen aus, dass 



1) die gerade Linie der kurzeste Weg zwischen zwei 

 Punkten ist; 



2) dass von zwei Linien zwischen denselben Punkten, 

 die ihre Konvexitat nach derselben Seite wenden, die 

 aussere die grossere ist; 



3) dass eine ebene Flache kleiner ist als eine krumme 

 von demselben Umkreis; 



4) dass von zwei krummen Flachen mit demselben 

 (ebenen) Umkreis, die ihre Konvexitat nach derselben 

 Seite wenden, die aussere die grossere ist. 



