20. Der Exhaustionsbeweis ; Euklid XII. 177 



Es 1st offenbar ein Missverstandnis, wenn man zu- 

 weilen in dem ersten von diesen Postulaten aus seinem 

 ^usammenhang herausgerissen eine Definition der 

 jraden Linie hat sehen wollen. Vielmehr dient dieses 

 und das folgende zur Definition der Lange einer krummen 

 Linie, die beiden letzten zur Definition des Inhaltes einer 

 krummen Flache. Dass diese indirekten Definitionen 

 ausreichend sind, zeigt sich dadurch, dass sie sich 

 .wirklich fiir die Bestimmungen verwerten lassen. Dagegen 

 enthalten 2 und 4, die sicheiiich nieht ganz entbehrt 

 werden konnten, etwas mehr als streng notwendig ist. 



Nachdem wir nun auch hier die allgemeinen Prin- 

 cipien kennen gelernt haben, die Archimedes benutzte 

 um seine infinitesimalen Bestimmungen mittels des Ex- 

 haustionsbeweises sicher zu stellen, konnen wir uns im 

 Folgenden damit begniigen die Zerlegungen, wodurch die 

 Bestimmungen ausgefiihrt wurden, und die dadurch er- 

 reichten Resultate anzugeben, ohne dass es notig ware 

 auf die Einzelheiten der strengen Beweisfiihrung einzu- 

 gehen. 



11. Infinitesimale Bestimmungen bei Archimedes, 



Obgleich die ausserordentlichen Verdienste des Ar 

 chimedes sich auch auf anderen Gebieten zeigen, die 

 im Teil schon beriihrt sind oder spater erwahnt werden 

 &amp;gt;llen, so tritt uns seine schopferische Kraft dennoch vor 

 illem entgegen sowohl in den infinitesimalen Unter- 

 luchungen, fiir die Eudoxus schon eine so zuverlas- 

 dge Grundlage geschafTen hatte, als auch in der Lehre 

 om Gleichgewicht, von der man vor Archimedes 

 keine exakte Behandlung kennt. In diesen Untersuchungen 

 hat er vielfach Gelegenheit sich ausser mit der elemen- 



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