21. Infinitesimale Bestimmungen bei Archimedes. 181 



Wahrend Archimedes geometrische Quadratur der 

 Parabel faktisch auf der Summation einer unendlichen 

 Reihe beruht, haben wir in unserer Wiedergabe der me- 

 chanischen Bestimmung das Integralzeichen benutzt urn 

 eine Zerlegung in Stiicke, die samtlich gleichzeitig bis ins 

 Unendliche abnehmen, zu bezeichnen. Archimedes Be- 

 handlung kann hier jedoch nicht eine Integration genannt 

 werden, sie dient im Gegenteil dazu, eine Integration zu 

 vermeiden, da sie iiur die vorliegende Untersuchung auf 

 eine andere zuriickfiihrt, deren Resultat vorher schon ohne 

 Integration gefunden war, namlich auf die Bestimmung 

 des Schwerpunktes eines Dreiecks. 



Von wirklichen Integrationen lasst sich dagegen 

 reden in den Schriften iiber die Spiral en und iiber 

 Konoide und Spharoide. Archimedes stellt dort 

 namlich Satze auf, die genau unseren Formeln 



f C x dx = 



*J 



und 



entsprechen, und wendet diese auf unter sich verschiedene 

 geometrische Bestimmungen an, die man jetzt mit 

 Ausnahme der bei jeder einzelnen Frage wiederholten 

 Anwendung des Exhaustionsbeweises auf dieselbe Weise 

 mitHiilfe der angefiihrten Integralformeln ausfiihren wiirde. 

 Diese Satze, von denen der erste in der Einleitung zu der 

 Schrift iiber Konoide und Spharoide angefiihrt wird, der 

 zweite in einem Zusatz zu Satz 10 iiber die Spiralen, 

 sind folgende: 



r 



h* &amp;lt; 



(2 /O 2 + (8 



