182 Die griechische Mathematik: 



Der erste ergiebt sich unmittelbar durch eine Summa 

 tion der Glieder einer arithmetischen Reihe (Differenz- 

 reihe), die sicher schon lange bekannt gewesen 1st. Der 

 zweite beruht auf einer im Hauptsatz 10 ausgefiihrten 

 Summation der betreffenden Reihe. Archimedes findet, 

 dass 



3 [h 2 + (2 ti)* + (3 h)* + . . . + (n /O 2 ] = 

 (TI + 1) (n h) 2 + h (h + 2 h + 3 h -f . . . + n h). 



Der Beweis, in dem h, 2 h u. s. w. durch Strecken 

 dargestellt werden, lasst sich, wenn wir h als Einheit be- 

 trachten und die gesuchte Summe der Quadrate s nennen, 

 folgendermassen wiedergeben: 



(n-f l)n = n* + [(!)+ 1] + [(n 2) + 2] 2 + . . . 



+ [2 + (n 2)] +. [1 + (n !)] + n* 



==2.*+2.(n l)-f 4(n 2)+6.(n 3)-f ... 



+ 2(n l).l. 



Addiert man hierzu 



(n + n 1 + n 2 -f . . . + 1), 



so erhalt man 



2 s + n -f 3 . (n 1) + 5 . (n 2) -f . . . + (2 n 1) . 1. 



Dass diese Grosse genau gleich 3 s ist, geht aus der 

 Summation der folgenden Gleichungen hervor, deren Rich- 

 tigkeit aus der Formel fiir die Summe der Glieder einer 

 Differenzreihe folgt: 



n^=:n-{-2(n l + n 2 + . . . + 1) 



(n l)8=n l + 2(n 2 + n 3.+ .-. + 1) 



(n 2) 2 = n 2 4- 2 (n 3 -f- n 4 -f- . . . -f 1) 



Diese Summation ist ein wertvolles algebraisches 

 Nebenprodukt von Archimedes Untersuchung. 



