21. Infmitesimale Bestimmungen bei Archimedes. 183 



Die Anwendung, die Archimedes hiervon in seiner 

 Schrift liber die Spiralen macht, 1st die Berechnung eines 

 Sektors einer archimedischen Spirale r = a . $. Die Flache 

 eines solchen ist 



/#! ! P 



I r 2 d & = --- I 

 J # 2 a J 



r 



wird also durch die letzte der beiden angefiihrten Inte- 

 grationen gef unden. Archimedes bestimmt das Ver- 

 hiiltnis zu einem Kreissektor mit dem Radius r, und 

 erreicht dies durch Teilung des Winkels f & l $ und 

 dadurch zugleich der Sektoren, durch Konstruktion von 

 Kreissektoren, die von Spiralsektoren eingeschlossen werden 

 und diese umschliessen, durch Vergleichung mit diesen 

 Kreissektoren, und durch Anwendung des Exhaustions- 

 beweises. 



Als Konoide werden teils Umdrehungsparaboloide 

 bezeichnet, teils Umdrehungshyperboloide mit zwei Netzen, 

 von denen jedoch nur das eine benutzt wird. Spharoide 

 sind Umdrehungsellipsoide. In der Schrift iiber diese 

 Arten von Flachen bestimmt Archimedes das Volumen 

 von Segmenten, die von einer solchen Flache und einer 

 beliebigen Ebene begrenzt werden. Archimedes ist im- 

 stande die BeschafTenheit eines willkiirlichen ebenen 

 Schnittes an einer solchen Flaohe zu ermitteln und seine 

 Axen mit Hiilfe der Abschnitte zu bestimmen, die seine 

 Ebene auf dem zugehorigen Durchmesser der Flache ab- 

 schneidet. Er hat ferner die Flache einer Ellipse gef unden, 

 was leicht durch Vergleichung von Figuren geschieht, die 

 in die Ellipse und in einen Kreis iiber ihrer einen Axe 

 ils Durchmesser beschrieben werden. Die Volumen bestim- 

 mungen werden dann auf eben die Integrationen zuriick- 

 ;fiihrt, die Archimedes, wie wir gesehen haben, in 

 einer anderen Form kannte. 



