184 Die griechische Mathematik: 



Die beiden angefiihrten Schriften sind ausser durch 

 die darin enthaltenen Flachen- und Volumenbestimmungen 

 auch noch in anderer Beziehung merkwiirdig. So liefert 

 die Schrift iiber Konoide und Spharoide, wie sich 

 schon aus dem Angefiihrten ergiebt, uns Aufklarungen 

 iiber Archimedes Bekanntschaft mit den Kegelschnitten. 

 In der Schrift iiber die Spiralen finden sich einige 

 friiher erwahnte Einschiebungen. Zur Hauptaufgabe 

 dieser Schrift gehort ausser der Flachenbestimrnung auch 

 noch eine andere infinitesimale Aufgabe, namlich die Be- 

 stimmung von Tangenten an die Spiralen. Dazu benutzt 

 Archimedes, selbstverstandlich unter der gebiihrenden 

 Kontrole mittels des Exhaustionsbeweises, dasselbe infini 

 tesimale Dreieck, das jetzt fiir die Bestimmung von Tan 

 genten an Kurven benutzt wird, die in Polar-Koordinaten 

 ausgedriickt sind. Als Resultat ergiebt sich, dass die 

 Polarsubtangente r . $ wird. Die Subtangenten in den 

 Endpunkten der verschiedenen ganzen Umlaufe der Spi 

 ralen erhielten -- wie wir friiher (S. 78) beriihrt haben - 

 fiir Archimedes ein besonderes Interesss dadurch, dass 

 sie geradlinige Darstellungen von Kreisperipherien sind. 



Die wichtigste integrationsahnliche Bestimmung, die 

 wir Archimedes verdanken, diirfte jedoch seine Bestim 

 mung der Kugeloberflache sein. Das Verfahren 1st, wenn 

 auch in einer anderen Form, ungefahr dasselbe, das in 

 unseren elementaren Lehrbuchern benutzt wird, und fiihrt, 

 in Ubereinstimmung mit dem Titel des Werkes, nament- 

 lich dahin, dass Kugelzonen und die entsprechenden 

 Stiicke der Mantelflache des umbeschriebenen Cylinders 

 gleich gross sind. Von da aus gelangt man jedoch leicht 

 zu anderen Bestimmungsformen und gleichfalls zu der 

 Bestimmung des Volumens von Kugel, Sektor und Seg 

 ment. Da Archimedes ebensowenig wie Euklid irgend- 



