188 Die griechische Mathematik: 



B unterstiitzt wird. Der Beweis wird dadurch gefiihrt, 

 dass man den Hebel in einem Punkte D so teilt, dass 



und auf seiner Verlangerung E und F so bestimmt, dass 

 EA = AD und CF=DC. Man kann dann, ohne die 

 Gleichgewichtsverhaltnisse zu andern, das Gewicht von P 

 gleichmassig liber ED, und das von Q gleichmassig liber 

 DF verteilen, wodurch das ganze Gewicht P+ Q gleich 

 massig liber EF verteilt wird. Wegen der Symmetrie 

 findet dann Gleichgewicht statt, wenn EF im Mittel- 

 punkte B unterstiitzt wird. 



Im ersten Buche seiner Schrift liber das Gleich 

 gewicht ebener Figuren fiihrt Archimedes einen solchen 

 Beweis ohne jedoch eine kontinuierliche Verteilung zu 

 benutzen. Er behandelt zuerst den Fall, wo P und Q 

 kommensurabel sind und sich also auf Punkte mit glei- 

 chen Abstanden verteilen lassen, und geht darauf mittels 

 des Exhaustionsbeweises zu dem Fall liber, wo P und Q 

 inkommensurabel sind. Er hat wie gewohnlich ausdriick- 

 lich die Voraussetzungen aufgestellt, auf denen der Beweis 

 aufgebaut wird, und das sind hier die Bedingungen fur 

 Gleichgewicht oder fiir den Mangel an Gleichgewicht bei 

 einem gleicharmigen Hebel. Mit Rlicksicht auf das Fol- 

 gende werden auch noch die Voraussetzungen aufgestellt, 

 dass die Schwerpunkte ahnlicher Figuren homologe Punkte 

 sind, und dass der Schwerpunkt einer Figur, deren Kon- 

 vexitat sich liberall nach aussen wendet, auf die Figur 

 selbst fallen muss. Wenn die Beweise dafiir, dass der 

 Schwerpunkt eines Dreiecks der Schnittpunkt seiner 

 Medianen ist, mit denen das Buch schliesst, uns jetzt 

 unnotig weitlaufig vorkommen, so beruht das darauf, dass 

 sie auf den ausdriicklich aufgestellten Voraussetzungen 

 haben aufgebaut werden miissen. 





