192 Die griechische Mathematik: 



Menachmus und die Mathematiker bis zu Apollonius 

 ein Verfahren besessen batten, das besonders zu der Be- 

 stimmung von Eigenschaften solcher Schnitte fiihrte, die 

 senkrecht auf einer Erzeugenden standen, und nicht mit 

 derselben Leichtigkeit benutzt werden konnte um nach- 

 zuweisen, dass anders belegene Schnitte ganz dieselben 

 Eigenschaften besassen. Von einem solchen Verfahren 

 ist uns keine Spur in der griechischen Mathematik auf- 

 bewahrt, und es diirfte, wenigstens was die Ellipse und 

 Hyperbel betrifft, schwierig sein ein solches Verfahren zu 

 zu erfinden. 



Die Sache lasst sich indessen folgendermassen erklaren. 

 Fur die Bestimmung der beiden mittleren Proportionalen 

 liessen sich die Kurven verwenden, die durch die oben 

 genannten Gleichungen definiert werden. Eine solche 

 Definition musste indessen von dem Postulat begleitet 

 sein, dass die Kurven wirklich existierten, oder mit anderen 

 Worten, dass die durch diese Definition bestimmten 

 Punkte kontinuierlich aufeinander folgten. Das Postulat 

 konnte vermieden werden, wenn sich eine, auf friihere 

 Postulate gegriindete, Konstruktion der Kurven angeben 

 liess, ja in diesem Falle wiirde es sogar unstatthaft 

 gewesen sein, neue Postulate aufzustellen. Die von Me 

 nachmus gefundene Konstruktion besteht eben in der 

 Bestimmung der Kurven als Schnitte an Kreiskegeln : die 

 Kontinuitat der Kegelfiache ist dann sichergestellt durch 

 diejenige der Leitkurve, des Kreises, und die Kontinuitat 

 der Schnittkurve wiederum durch diejenige der Kegelflache. 



Fiir diese Verwendung ist jede Erzeugung als Schnitte 

 an Kegeln gleich gut, ja um sich zu versichern, dass 

 eine Kurve mit bestimmten Konstanten sich wirklich als 

 Schnitt an einem Kegel erzeugen lasst, ist es sogar am 

 bequemsten, wenn man eine gleichartige Losung dieser 

 Aufgabe hat. Dass dann namentlich die Losung, bei der 



