23. Die Lehre von den Kegelschnitten vor Apollonius. 195 



geornetrischer Form durch die angefiihrte Gleichung 

 dargestellt worden sind. Was die Ellipse betrifft, so 

 deutet verschiedenes hierauf; es kann dann sehr nahe 

 gelegen haben, sie als Cylinderschnitt zu betrachten. Die 

 Hyperbel, und namentlich die gleichseitige, hat sich, 

 wie schon angefiihrt, als verwendbar fur die Konstruktion 

 von zwei mittleren Proportionalen gezeigt, aber freilich 

 durch eine andere Gleichung bestimmt, namlich durch 

 diejenige, wodurch sie auf ihre Asymptoten bezogen wird. 

 Die Verwendbarkeit fiir die Konstruktion der beiden 

 mittleren Proportionalen hat dann eine gute Veranlassung 

 gegeben, urn zu untersuchen, ob die Kurve nicht etwa 

 eine auf anderem Wege bekannte Kurve, z. B. ein Kreis, 

 sein konne - - die ursprungliche Bestimmung durch die 

 Mittel, iiber die man verfiigte, namentlich durch die geo- 

 metrische Algebra, umzuformen. Die Umformung in die 

 Axengleichung hat dann gerade fiir dieses Hiilfsmittel 

 ziemlich nahe gelegen. Ein unmittelbarer Zusammenhang 

 zwischen der Asymptotengleichung und der Darstellung 

 als Kegelschnitt ist aber kaum bekannt gewesen. 



Das, was durch senkrechte Schnitte auf der Erzeu- 

 genden eines Umdrehungskegels erreicht wurde, war also 

 das Mittel, jede Parabel, Ellipse oder Hyperbel als Schnitt 

 eines Umdrehungskegels darzustellen. Selbstverstandlich 

 sah man zugleich, dass urngekehrt a lie derartig aii- 

 gebrachten Schnitte Parabem, Ellipsen und Hyperbeln 

 sind. Es hat zugleich unmoglich der Aufmerksamkeit 

 entgehen konnen, dass die besondere Lage durchaus gar 

 keine Rolle bei dieser umgekehrten Bestimmung spielt. 

 Jedenfalls hat dieselbe Bestimmungsmethode sich als an- 

 wendbar gezeigt, sobald man iiberhaupt Veranlassung fand 

 nach anders belegenen Schnitten zu fragen. Das finden 

 wir bestatigt in Archimedes Schrift iiber Konoide und 

 Spharoide. Bereits die Einleitung zu dieser Schrift zeigt, 



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