23. Die Lehre von den Kegelschnitten vor Apollonius. 197 



PM.PM l 

 verandern, so ist PAT Constant oder gleich k. 



JL J.\ . JT -/V -I 



1st nun MM l die Spur eines der Grundflache parallelen 

 Schnittes, und y das Stuck, welches von der in P proji- 

 cierten Geraden zwischen P und der Kegelflache abge- 

 schnitten wird, so ist 



|/ 2 = PM . PM l = fc . P TV . PN lt 



und das ist eben die Eigenschaft, durch die wir eine 

 Ellipse oder Hyperbel charakterisiert haben. 



Der hier benutzte planimetrische Satz wird als be- 

 kannt vorausgesetzt, ist also gewiss auch vor Archimedes 

 benutzt worden um die Eigenschaften der Kegelschnitte 

 abzuleiten. Er gilt nach dem sogenannten Potenzsatz, 

 den wir spater besprechen werden und der dem Archi- 

 .medes bekannt war, auch wenn die Punkte M, N y M^ 

 und N l auf einem beliebigen Kegelschnitt liegen. Archi 

 medes konnte deshalb in der angefiihrten Schrift iiber 

 Umdrehungsflachen zweiter Ordnung ebene Schnitte an 

 diesen auf ganz dieselbe Weise bestimmen. 



Wenn wir angenommen haben, dass die Entdeckung 

 des Menachmus wesentlich darin bestand, dass Parabel, 

 Ellipse und Hyperbel sich als Kegelschnitte darstellen 

 liessen, so haben wir damit die Annahme verbinden 

 miissen, dass diese Kurven wenigstens teilweise vorher 

 untersucht worden waren, namentlich in Verbindung mit 

 dem delischen Problem und auf Grundlage der Eigen 

 schaften, die jetzt durch ihre einfachsten Gleichungen 

 dargestellt werden. Diese Annahme wird in hohem Grade 

 durch den Umstand unterstiitzt, dass es in alien weiter- 

 gehenden Untersuchungen bei griechischen Schriftstellern 

 die planimetrischen Haupteigenschaften sind und nicht 

 die Darstellung als Kegelschnitte, die der Untersuchung 

 zu Grunde gelegt werden. Sie tragt auch dazu bei zu 



