24. Die Kegelschnitte des Apollonius. , 201 



lonius, statt Schnitte zu betrachten, die von Ebenen in 

 einer bestimmten Lage an Umdrehungskegeln hervor- 

 gebracht werden, sofort beliebige ebene Schnitte an 

 beliebigen Kreiskegeln betrachtet. Das Verfahren, 

 welches benutzt wird um eine solche planimetrische Eigen 

 schaft an diesen Schnitten abzuleiten, dass sie der weiteren 

 Untersuchung der Kurven zu Grunde gelegt werden kann, 

 ist eine Verallgemeinerang desjenigen, das wir Archi 

 medes haben benutzen sehen um Schnitte senkrecht zur 

 Symmetrieebene des Kegels zu untersuchen ; dadurch wird 

 aber die planimetrische Eigenschaft auch allgemeiner. 

 Es wird dann nicht rnehr diejenige, die dadurch aus- 

 gedriickt wird, dass man den Kegelschnitt auf eine von 

 seinen Axen und die halben zugehorigen Sehnen als Ordi- 

 naten bezieht, sondern diejenige, die man auf ahnliche 

 Weise erhalt, indem man den Kegelschnitt auf einen be 

 liebigen Durchmesser und dessen Sehnen bezieht. Das 

 muss man festhalten, wenn man den rechten Uberblick 

 liber den Gang des Buches erhalten will. Von den unter- 

 suchten Kurven ist es anfangs nur bekannt, dass sie 

 diese Eigenschaft besitzen in Bezug auf einen einzelnen 

 Durchmesser und ein dazu gehoriges Sehnensystem, das 

 im allgemeinen einen schiefen Winkel mit dem Durch 

 messer bildet. Erst im weiteren Verlaufe der Darstellung 

 sieht man, dass sie dieselbe Eigenschaft besitzen in Be 

 zug auf unendlich viele Durchmesser, und am Schlusse 

 des Buches werden endlich solche Durchmesser kon- 

 struiert, die senkrecht auf ihren Sehnen stehen, 

 und gezeigt, dass die Kurven, wenn man sie auf diese 

 bezogen hat, sich als Schnitte in Umdrehungskegel 

 hineinlegen lassen. Erst dann ist die Identitat der von 

 Apollonius behandelten Kurven mit den bereits fruher 

 bekannten Kegelschnitten vollkommen dargethan. 



Diese letzten Resultate machen also das Ziel aus, 



