24. Die Kegelschnitte des Apollonius. 205 



Man sieht, dass die geometrische Algebra hier genau 

 dieselben Dienste leistet, wie die Algebra in der spateren 

 analytischen Geometric. Wie wir jetzt die Grundeigen- 

 schaft einer Kurve durch eine algebraische Gleichung 

 ausdriicken, so wird sie bei Apollonius durch eine 

 Figur dargestellt. Dadurch dass diese Hiili sfigur recht- 

 winkelig zur Abscissenaxe gezeichnet 1st, auch wenn die 

 Ordinaten diese unter schiefen Winkeln schneiden, erhalt 

 sie eine gewisse Unabhangigkeit von der Figur, bei deren 

 Untersuchung sie benutzt werden soil. Ebenso wie die 

 algebraische Gleichung der Kurve vom zweiten Grade 

 mit Bezug auf x ist, ebenso wird die Hulfsfigur dieselbe, 

 die in den Elementen zur Darstellung und Losung einer 

 Gleichung zweiten Grades benutzt wird. Gerade als 

 Kurven von zweiter Ordnung haben die Kegelschnitte 

 sich daher als so geeignet fiir die antike Behandlungsart 

 erwiesen. Dass diese selbst der Algebra eine geometrische 

 Form giebt, hat jedoch Veranlassung gegeben zu manchen 

 Kombinationen des geometrischen Hiilfsmittels mit dem 

 Gegenstande der geometrischen Untersuchung, die der 

 analytischen Geometric ferner liegen wiirden, namentlich 

 solange diese geometrische Fragen vollstandig in Rechen- 

 aufgaben verwandelte. 1m Gegensatze hierzu gleicht die 

 antike Behandlung etwas mehr der jetzt iiblichen Be- 

 nutzung der analytischen Geometric, bei der man die 

 geometrische Bedeutung der vorzunehmenden Umformungen 

 nicht vergisst. 



Wir konnen allerdings hier nicht bis ins Einzelne die 

 Umformungen der unter geometrischer Form dargestellten 

 Gleichungen der Kurve verfolgen, wodurch man nach 

 und nach zu dem Resultat gelangt, das wir als das Ziel 

 des Buches bezeichnet haben, aber als Beispiel wollen 

 wir doch ein Zwischenglied nennen, das eine Hauptrolle 

 sowohl hier wie bei den weitergehenden Untersuchungen 





