. Die Kegelschnitte des Apollonius. 



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die Kurve auf den anderen Durchmesser und seine Sehnen 

 bezogen wird. 



Aus dem ersten Buche wollen wir noch die Be- 

 stimmung der Tangenten erwahnen. Nach der Glei- 

 chung der Kurve kommt es bei dieser darauf an, durch 

 einen Punkt (a? , y } der Kurve eine Gerade so zu ziehen, 

 dass jeder andere Punkt (a?, y] von dieser der Bedingung 



11% 7/2 



geniigt, worin fur die Parabel - - mit vertauscht wird. 



2 d 



Apollonius zeigt, dass dies fiir die Ellipse und Hyperbel 

 erreicht wird, wenn die Tangente und die Ordinate im 

 Punkte (a? , y] den Durchmesser harmonisch teilen (die 

 Bezeichnung harmonisch ist jedoch neueren Ursprungs). 

 Der Beweis ist etwas zu weitlaufig, um hier wiederholt 

 zu werden. Dagegen lasst sich der Beweis dafiir, dass 

 eine, von einern Punkte (a? , y) der Parabel y 2 =px ge- 

 zogene Gerade, welche die Abscissenaxe irn Punkte ( x , 0) 

 trifft, Tangente der Parabel ist, sich etwa auf folgende 

 Weise wiedergeben. Ist (x,y) ein Punkt dieser Geraden, 

 so wird 



Da man nun durch Euklid weiss, dass die mittlere 

 Proportionate zwischen zwei Grossen (ihr geometrisches 

 Mittel) kleiner ist als ihr arithmetisches Mittel, oder dass 



x 



