214 Die griechische Mathematik: 



dargestellt wird. Der Ort zu drei Geraden wird auf ahn- 

 liche Weise durch die Gleichung 



dargestellt. 



Altere, nicht ganz vollstandige Beweise dafiir, dass 

 diese Orter Kegelschnitte sind, muss Apollonius als so 

 wohl bekannt voraussetzen, dass seine Leser, ohne dass 

 die Beweise wiederholt wurden, sehen konnten, dass sie 

 durch sein 3tes Buch vervollstandigt wurden. Dieses Buch 

 muss also die Voraussetzungen vervollstandigt haben, auf 

 denen man vorlier diese Beweise auffiihrte und auch fort- 

 fahren sollte sie aufzufiihren. Wir, die wir die altere 

 Bestimmung der Orter nicht kennen, konnen nur aus 

 dem, was im Buche vorliegt, versuchen Schliisse auf diese 

 zu ziehen. Das ist nicht so schwierig fiir den Ort zu 

 drei Geraden. Dass ein beliebiger Kegelschnitt em sol- 

 cher Ort ist, leitet Apollonius namlich selbst (im Ver- 

 laufe des Beweises fiir die erwahnte Erzeugung durch 

 projektivische Biischel) ab aus einem speciellen Falle des 

 Potenzsatzes. Dass er auch ein Ort zu vier Geraden sein 

 kann, lasst sich in dem Falle, wo zwei gegeniibeiiiegende 

 Geraden, y = und a = 0, parallel sind, aus dem all- 

 gemeinen Potenzsatz ableiten. 



Daes schon hierdurch viel erreicht ist, sieht man am 

 besten durch cine Zusammenstellung mit der Darstellung 

 eines raumlichen Ortes* durch die analytische Geometrie. 

 Nimmt man einen Punkt dieses Ortes zum Anfangspunkt, 

 so erhalt man eine Gleichung von der Form 



ax 2 -\-bxy-\-cy 2 -\- dx + ey = Q 

 oder 



