25. Raumliche Orter und Aufgaben. 



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wenn also b z c = - r a 3 . Ist dagegen x ^ J a, so muss 



b 2 c &amp;lt;C T^y a 3 sein, was also die Bedingung fur zwei Auf- 



losungen wird. Dies wird leicht bewiesen mit Hiilfe der 



Satze iiber die Tangenten der Kegelschnitte. Soil namlich 



die Tangente der Parabel im Punkte P die Hyperbel be- 



riihren, deren Asymptoten die Geraden y = und y = a 



sind, so muss P die Mitte des 



Stiickes der Tangente sein, welches 



die Asymptoten abschneiden. Der 



Schnittpunkt &amp;gt;S der Tangente mit 



der Abscissenaxe, die Tangente im 



Scheitelpunkt der Parabel ist, soil 



ferner die Mitte zwischen P und : 



dem Schnittpunkt mit der Ordi- 



natenaxe sein. Daraus ergiebt sich, 



dass D Q, die Abscisse von P, gleich 



| DZ ist. Man iiberzeugt sich leicht, 



dass, wie Archimedes sagt, die fur die Moglichkeit der 



Losung gestellte Bedingung, & 2 c&amp;lt;^ 7 a 3 , wirklich bei 



der Kugelteilung erfiillt ist, bei der der Punkt B auf Q, 



und T zwischen Q und Z fallt. Man erhalt jedoch nur 



eine Losung, da die Punkte X auf verschiedene Seiten 



von B fallen wurden, und man nur denjenigen benutzen 



kann, der auf DB fallt. 



Archimedes fiihrt also seine Aufgabe tiber Kugel 

 teilung zuriick auf eine kubische Gleichung von sehr 

 allgemeiner Form, die, wie bereits bemerkt wurde, auch 

 einen Beweis liefert fur den letzten Satz des zweiten 

 Buches iiber die Kugel und den Cylinder, und die ferner 

 Anwendung findet bei einigen von Archimedes an 

 anderen Orten gestellten Aufgaben iiber die Bestimmung 

 von Segmenten von Ellipsoiden und Hyperboloiden rnit 

 gegebenem Volumen. Apollonius Bestimmung von Nor- 



