25. Raumliche Orter und Aufgaben. 221 



In beiden Fallen wird, wenn der Punkt (a? 1 , y^} ge- 

 geben 1st, der Punkt (a?, y) auf einer Hyperbel liegen, 

 deren Schnittpunkte mit der gegebenen Kurve die Fuss- 

 punkte der vom Punkte (x l} y^) ausgehenden Normalen 

 sein werden. Diese Bestimmung der Normalen benutzt 

 Apollo nius urn ausfiihiiich zu untersuchen, wie viele 

 Normalen sich von den verschiedenen Punkten der Ebene 

 ziehen lassen. Die Hauptsache ist hier diejenigen Punkte 

 zu bestimrnen, deren entsprechende Hyperbeln die gegebene 

 Kurve beruhren. Die von diesen Punkten gebildete Kurve 

 bildet namlich den Ubergang zwischen den Teilen der 

 Ebene, die so beschaffen sind, dass man von den Punkten 

 des einen Teiles zwei Normalen mehr ziehen kann als 

 von denjenigen des an deren. Indem Apollonius die Be- 

 dingungen fiir die erwahnte Beruhrung sucht, findet er, 

 wie man die Ordinate eines Punktes dieser Kurve be- 

 stimmen kann, wenn man die Abscisse kennt. Die Kurve 

 ist dieselbe, die man jetzt die Evolute des Kegelschnittes 

 nennt. Indessen ist weder bei Apollonius noch bei den 

 Alten iiberhaupt die Rede von irgend einer genaueren 

 Untersuchung dieser Kurve, als die hier angefuhrte ist. 



26, Die berechnende Geometric, 



Aus Archimedes Integrationen, wie wir sie genannt 

 haben, aus Apollonius Lehre von den Kegelschnitten 

 und aus der von den Griechen gemachten Anwendung der 

 Kegelschnitte zur Diskussion von Aufgaben, die in unserer 

 Mathematik von Gleichungen dritten und vierten Grades 

 abhangen, erkennen wir, bis zu welcher Hohe die griechische 

 Geometrie und die Mathematik in geometrischer Form sich 

 gehoben hatten. Wir haben friiher gesehen, mit welcher 

 Strenge man die Algemeingiiltigkeit dieser Mathematik 



