228 Die griechische Mathematik: 



er die grosste der vorhandenen Schwierigkeiten iiberwand, 

 namlich die Bestimmung der Quadratwurzeln. 



Archimedes beginnt damit mittels des Exhaustions- 

 beweises darzuthun, dass der Kreis denselben Inhalt hat wie 

 ein Dreieck, das die Peripherie zur Grundlinie und den 

 Radius zur Hohe hat. Dadurch wird die Quadratur des 

 Kreises auf die Berechnung der Kreisperipherie zuriickge- 

 fiihrt. Archimedes beweist, dass das Verhaltnis dieser 

 Peripherie zum Durchmesser, also die Zahl, die in neuerer 

 Zeit n genannt worden ist, kleiner als 3^, aber 

 grosser als 3^ ist. Das wird dadurch bewiesen, dass 

 selbst der Umfang des einbeschriebenen 9 Geeks grosser 

 ist als 3^J d, und selbst der Umfang des umbeschriebenen 

 96ecks kleiner ist als 3^ c?, wenn wir niit d den Durch 

 messer des Kreises bezeichnen. 



Zu diesem Ergebnis gelangt Archimedes dadurch, 

 dass er aus den Verhaltnissen zwischen den Seiten eines 

 rechtwinkeligen Dreiecks mit einem gewissen Winkel x 

 die Verhaltnisse zwischen den Seiten eines rechtwinkeligen 

 Dreiecks mit dem halben Winkel (J x) bestimmt. Wenn 

 er die obere Grenze fiir die Peripherie sucht, so lasst er 

 die Dreiecke mit den YVinkeln x und ^x die diesen 

 Winkeln anliegende Kathete gemeinsam haben, und wenn 

 er die untere Grenze sucht, die Hypotenuse; in beiden 

 Fallen aber lasst die gefundene Relation zwischen den 

 Verhaltnissen sich in der trigonometrischen Sprache 

 unserer Zeit wiedergeben durch 



sinx 



( tgx \ 



loder- - ). 



\ secx1/ 



l+cosx\ secx+ 



Diese Ubereinstimmung wird bei der Anwendung 

 jedoch durch den Umstand verdeckt, dass bei der einen 

 Untersuchung obere Grenzen fiir die Quadratwurzeln ge- 

 braucht werden, zu denen der tFbergang zwischen den 



