25. Die berechnende Geometric. 229 



Verhaltnissen verschiedener Seiten desselben rechtwinke- 

 ligen Dreiecks (sm 2 x -f cos 2 a?= 1) Veranlassung giebt, 

 und bei der anderen untere Grenzen, und dass diese durch 

 verschieden gebildete Naherungswerte ausgedriickt werden. 

 Indera Archimedes von einem rechtwinkeligen Dreieck 



mit dem Winkel ausgeht und wiederholt zu neuen Drei- 

 b 



ecken iibergeht, findet er, dass (mit unseren trigonome- 

 trischen Bezeichnungen fur die untersuchten Verhaltnisse) 



si 153 n 66 



^96 ^46731 96&quot; 2017* 



und gelangt dadurch zu den oben angegebenen Grenzen 

 fiir n. 



Nachdem durch Archimedes Arbeit das Eis ein- 

 mal gebrochen war, soil A polio ni us eine noch genauere 

 Berechnung geliefert haben. Vielleicht riihrt von ihm 

 der Wert 3,1416 her, der im wesentlichen der Genauig- 

 keit entspricht, die sich spater in den Sehnentafeln des 

 Ptolemaus findet, und dem wir spater bei indischen 

 Schriftstellern begegnen werden. 



Archimedes Schrift enthalt f aktisch Bestimmungen 



der unteren Grenzen fiir sin und der oberen Grenzen 



n 



fiir tg- fiir n = 6, 12, 24, 48, 96. Die letzte Bestim 

 mung liefert auch eine brauchbare obere Grenze fiir 

 , und Ari starch s Arbeit zeigt, dass man imstande 



war sie zu benutzen. Apollonius Bestimmung von n 

 muss zu einer noch genaueren Bestimmung des sinus 

 eines kleinen Bogens oder derjenigen Grosse gefiihrt 

 haben, iiber deren Werte wir Tabellen von spateren grie- 

 chischen Astronomen besitzen, namlich der Sehne des 



