26. Die berechnende Geometrie. 231 



Verhaltnis der Sehnen zum Durchmesser wird also in 

 Briichen mit dem Nenner 432000 angegeben. Zur Be- 

 nutzung bei der Interpolation werden Dreissigstel der 

 DifTerenzen zwischen den aufeinander folgenden Sehnen, 

 den Bogendifferenzen von 1 Minute entsprechend, hinzu- 

 gefiigt. 



Fur die Berechnung dieser Taf el benutzt Ptolemaus 

 hauptsachlich den Satz iiber das einbeschriebene Viereck. 

 Dieser lasst sich unmittelbar benutzen, um die Sehne zu 

 der Summe oder Differenz zweier Bogen, und dadurch 

 auch die Sehne zu dem verdoppelten und halbierten 

 Bogen zu berechnen. Wenn man von den bekannten 

 Sehnen ausgeht, so kann man auf diesem Wege dahin 

 gelangen, Sehnen zu Bogen von 1^ und | zu berechnen. 

 Aus diesen wird die Sehne zu 1 durch eine Art von 

 Interpolation berechnet, die darauf beruht, dass das Ver 

 haltnis zwischen Sehne und Bogen abnimmt, wenn der 

 Bogen wachst, dass also 



Sehne | Sehne 1 Sehne 1^ 



~r i H 



Fur den hier benutzten geometrischen Satz, den auch 

 Ari starch anwandte, teilt Ptolemaus einen hubschen 

 geometrischen Beweis mit. Nachdem die Sehne zu 1 

 auf diese Art gefunden ist, wird der ptolemaische Satz 

 fur die successive Berechnung der ubrigen Sehnen benutzt. 



Da eine Sehnentafel dieselbe Rolle spielt wie eine 

 Sinustafel, so kann man, wenn man will, mit Hiilfe 

 dieser Tafel und des pythagoreischen Lehrsatzes jedes 

 Stiick eines ebenen rechtwinkeligen Dreiecks durch zwei 

 andere, unter denen sich eine Seite befindet, bestimmen 

 und dadurch, wenn auch durch beschwerliche Rechnungen, 

 die Bestimmungen ausfiihren, die in die ebene Trigono- 

 metrie hineingehoren. Im Almagest finden sich Beispiele 



