244 Die griechische Mathematik: 



Wir sehen also, dass Nikomachus, dem wir nament- 

 lich unser Wissen von der Bekanntschaft der Alten mit 

 figurierten Zahlen verdanken, nicht nur mit Bezug auf 

 die Polygonalzahlen, sondern auch auf die Pyramidalzahlen 

 auf dem weiter bauen konnte, was von den Zeiten der 

 grossen Mathematiker her bereits vorlag. Neben der Lehre 

 von diesen Zahlen findet sich bei ihm eine Beobachtung, 

 die eine Fortsetzung des bereits den Pythagoreern be- 

 kannten Satzes iiber die Bildung der Quadratzahlen au&amp;gt; 

 Summen der ersten ungeraden Zahlen darstellt. Diese 

 besteht darin, dass sich auch jede Kubikzahl als Summe 

 von aufeinander folgenden ungeraden Zahlen darstellen 

 lasst. Der in der Formel 



7l 3 = ( n 2_ n 4 1) 4. ( n 2 __ n _J_ 8 ) _|_ &amp;lt;&amp;lt;e _J_ (,,2 _J_ _ !) 



ausgedriickte allgemeine Satz scheint dem Nikomachus 

 jedoch nicht vollstandig bekannt gewesen zu sein 



In Verbindung hiermit sei noch angefiihrt, dass wir 

 durch einen viel jiingeren romischen Schriftsteller wissen, 

 dass man im Altertum die ersten Kubikzahlen hat sum- 

 mieren konnen, also gewusst hat, dass 



Dieses Resultat kann aus dem oben genannten abgeleitet 

 worden sein. Bei einem arabischen Schriftsteller findet 

 sich jedoch ein anderer Beweis, der durch seine geome- 

 trische Form griechischen Ursprung verrat, und der gleich- 

 zeitig zu dem Satze bei Nikomachus und zur Summa 

 tion der Kubikzahlen gefuhrt haben kann. Dieser lasst 

 sich in der Sprache der jetzigen Algebra folgendermassen 

 wiedergeben: 



