4. Algebra und Zahlentheorie; Geometric. 285 



oder 



und damit hat man eine rationale Losung der Gleichung 

 (2). Sucht man nun dadurch weiter zu kommen, dass 

 man fur x l und y^ willkurlich gewahlte Werte einsetzt, 

 so kann man oft erreichen, dass die gefundenen Werte 

 von x und y ganze Zahlen werden. Im besonderen sind 

 die Falle zu beachten, in denen man bereits erreicht hat, 

 dass 6 = +l oder +2. 



1st b = 1 , so kann man auf diesem Wege aus einer 

 Losung von (2) eine neue ableiten, und darauf so 

 viele wie man will. 



1st b = 1 oder +2, so wird (5) auch eine Losung 

 von (2) in ganzen Zahlen geben ; denn fiir b == + 2 ist 

 y 1 * = ax 1 *2, also wird ax^ -f y^ = 2 ax^ _ 2 

 gerade. Zugleich ergiebt sich aus (4), dass die Kenntnis 

 einer Losung von (2) gestattet, aus einer Losung von 

 (1) unendlich viele Losungen abzuleiten. 



Gelingt es nun nicht fiir einen gegebenen Wert von 

 a durch Versuche irgend eine Gleichung von der Form 

 (1) zu bilden, wo & = +! oder +2, so benutzt man die 

 sogenannte cyklische Methode um den Wert von b 

 zu reducieren. 



Es sei 



eine Gleichung, in der b i bereits so klein ist, wie man 

 es durch Versuche erreichen kann, die darin bestehen 



konnen, dass man einen Naherungswert von ya sein 



*i 

 lasst. x l und b-^ enthalten dann keinen gerneinsamen 



Faktor, denn ein solcher wiirde quadratischer Faktor auf 



