304 Das Mittelalter: 



x = m 2 a = n 2 b, 



wo m 2 und n 2 willkiirlich gewahlte Quadratzahlen mit 

 der Differenz a b sind. 



Grosseres Gewicht jedoch wollen wir auf die melir 

 begriffsmassigen Fortschritte legen, die wir antreffen. 

 Damit diese verstanden werden konnen miissen wir be- 

 merken, dass Alkarchi sich nicht nur Diophants prak- 

 tische Behandlungsmethoden angeeignet hatte, sondern 

 dass er auch, wie er ja bereits in seiner Arithmetik ge- 

 zeigt hatte, ein vollkommenes Verstandnis von dem hatte, 

 was nach griechischer Denkweise fur einen Beweis erfor- 

 derlich war. Geometrische Beweise, die ja die einzige 

 Form fiir allgemeingiiltige Beweise waren, giebt er jedoch 

 nur fiir Losungen von Gleichungen zweiten Grades, und 

 selbst da bewegt er sich mit grosserer Freiheit als die 

 Griechen, da er in einem von diesen Beweisen a? 2 und 

 a x durch Strecken darstellt, etwas, was ein griechischer 

 Schrifteteller in einem Beweise nur indirekte dadurch 

 wiirde machen konnen, dass er a? 2 und a x in Rechtecke 

 mit derselben Seite verwandelte. Er begniigt sich indessen 

 damit die meisten Regeln durch ein einziges Beispiel zu 

 erlautern, das zeigen soil, wie sie aus den Rechnungen 

 selbst hervorgehen. Ja er bemerkt sogar ausdriicklich, 

 dass man sich auf das Verstandnis der Regeln fiir alge- 

 braisches Rechnen vorbereiten miisse durch die allgemeinen 

 arithmetischen Regeln, die er in seinem friiherem Werke 

 gegeben habe. Er verspricht derartige arithmetisch-alge- 

 braische Regeln in grosserem Umfange in einem Werke 

 zu geben, das wir nicht besitzen. 



An und fiir sich liegt vielleicht iiichts Neues in diesen 

 Betrachtungen, denn das wirkliche Rechnen mit rationalen 

 Zahlen musste auch fiir die Griechen in vielen Beziehungen 

 das Vorbild fiir die geometrische Behandlung gewesen 

 sein, durch die sie es dahin brachten, dass dieselben 





