2. Die Arithmetik und Algebra der Araber. 3Q5 



Operationen irrationale Grossen umfassten. Von grosser 

 Bedeutung aber 1st es, dass diese Betrachtungen ausdriick- 

 lich hervorgehoben werden. Dies zeigt sich bei Alkarchi 

 in der Freiheit, mit der er irrationale Wurzelgrossen be- 

 handelt. Diese werden allerdings nicht durch Zeichen 

 dargestellt, sondern in Worten, die den Benennungen von 

 Potenzen mit demselben Exponenten entsprechen; aber 

 wie bei den Indern wird ausdriicklich gezeigt, wie man 

 mit ihnen rechnen kann, namlich tells wie sie multipli- 

 ciert und dividiert werden konnen, welchen Wert die Po- 

 tenz auch haben mag, teils wie Quadrat- und Kubikwur- 

 zeln addiert und subtrahiert werden konnen, wenn die 

 Potenzen ahnliche ebene oder raumliche Zahlen sind. 

 Die letzten Satze werden nicht dadurch bewiesen, dass 

 rationale Faktoren mittels der ersten Satze ausserhalb des 

 Wurzelzeichens gebracht werden, sondern durch Anwen- 

 dung der Formeln fur (a4^b) 2 und ( + &) 3 . 



Wir sehen also, dass Alkarchi mit irrationalen 

 Wurzelgrossen rechnet, oder mit anderen Worten, 

 dass er sie auch als Zahlen auffasst. Indirekt thut er 

 das auch dadurch, dass mehrere von seinen bestimmten 

 Gleichungen zu irrationalen Wurzeln fiihren, dass also 

 in den Gleichungen, die zu diesen gefiihrt haben, die 

 Zeichen, die unserem x m entsprechen, Potenzen von irra 

 tionalen Zahlen darstellen, wahrend Diophant stets vor- 

 aussetzt, dass x eine rationale Zahl sein soil. Nun haben 

 wir allerdings gesehen, dass die Inder ohne Skrupel mit 

 irrationalen Zahlen rechneten, aber diesen ist Alkarchi 

 wissentlich kaum gefolgt. Von Bedeutung bleibt es, dass 

 wir hier dasselbe von einem Manne thun sehen, der von 

 den griechischen Schriftstellern her vollkommen mit dem 

 Begriffe des Irrationalen vertraut ist, und der durch die 

 Weise, wie er zwischen den geometrischen Beweisen und 

 den arithmetischen Erklarungen unterscheidet, zu erkennen 



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