306 Das Mittelalter: 



giebt, dass er sich bewusst 1st, dass die letzteren keine 

 allgemeingiiltigen Begriindungen liefern. Als Schiller der 

 Griechen konnten die Araber deshalb nicht bei den arith- 

 metischen Erklarungen stehen bleiben. Das sehen wir 

 aus der Algebra, die uns von dem angesehenen arabischen 

 Mathematiker Omar Alchaijami, der im 11 ten Jahr- 

 hundert lebte, hinterlassen ist. Dieser setzt seine Erkla 

 rungen von der Bedeutung der irrationalen Wurzelgrossen 

 in direkte Verbindung mit den strengen griechischen Be- 

 griffen. Er unterscheidet zwischen arithmetischen und 

 geometrischen Auflosungen von Gleichungen. Die ersten 

 will er nicht nur wie Diophant, und was in diesem 

 Zusammenhange ausreichend sein wiirde rational haben, 

 sondern auch ganz. Da sich niit diesen Grossen rechnen 

 lasst, so ist ein arithmetischer Beweis fiir die Richtigkeit 

 solcher Auflosungen ausreichend. Die Auflosungen der 

 zvveiten Art konnen irrational sein, und deshalb mussen 

 sie geometrisch dargestellt werden und verlangen einen 

 geometrischen Beweis. Quadratwurzeln und Kubikwurzeln 

 werden dann durch die von den Griechen her bekannten 

 Konstruktionen von einer und zwei mittleren Proportio- 

 nalen dargestellt. Fiir Wurzelgrossen hoherer Ordnung 

 lasst sich, weil der Raum nur drei Dimensionen hat, 

 keine geometrische Darstellung durchfiihren, und eine 

 andere allgemeine Darstellung kennt Alchaijami nicht. 

 Bei der Bildung von Potenzen hoherer Ordnung weist er 

 dagegen in Ubereinstimmung mit Euklids Proportions- 

 lehre auf die Bildung zusammengesetzter Verbal tnisse bin, 

 wodurch auch indirekt eine Erklarung von dem gegeben 

 wird, was die irrationalen Wurzelgrossen hoherer Ord 

 nung, die wir bei Alkarchi getroffen haben, bedeuten 

 mussen. Alchaijamis Auffassung, deren theoretische 

 Bedeutung Alkarchi vermutlich auch anerkannt haben 

 wiirde, ist also vollkommen griechisch. 



