4 Erstes Wiedererwachen der Mathematik in Europa. 317 



behandelt, auf das wir bis dahin getroffen sind: Rechnen 

 mit ganzen Zahlen, die nach dem Positionssystem geschrie- 

 ben sind, und mit Briichen; alle Arten kaufmannisches 

 Rechnen; Losung von Aufgaben, die auf eine Gleichung 

 gebracht, von Gleichungen ersten Grades abhangen wiirden, 

 mit Hiilfe der beiden Regeln des falschen Ansatzes und 

 der indischen Umkehrungsmethode; Differenzreihen erster 

 und zweiter Ordnung ; Aufgaben, die von Quotientenreihen 

 abhangen, oder die, wie diejenige liber die Vermehrung 

 der Kaninchen, als Aufgaben iiber Zinseszinsrechnung 

 gelost werden; zum Teil solche, die von unbestimmten 

 Gleichungen ersten Grades abhangen -- ohne dass Leo 

 nardo jedoch wie die Inder bestirnmte Regeln fur ihre 

 Auflosung giebt ; Ausziehen der Quadrat- und Kubik 

 wurzel; endlich Aufgaben, die von bestimmten und un 

 bestimmten Gleichungen zweiten Grades abhangen. 



Der Name Liber abaci scheint nicht ganz dazu zu 

 stimmen, dass Leonardo durchweg das Zahlzeichen 

 gebraucht. Indessen weiss man, dass er selbst von vorn 

 herein in der Benutzung des Abacus unterrichtet worden 

 ist. Die indische Rechenkunst hat er dagegen direkt von 

 den Arabern gelernt, und er ist ihr vielleicht kaum ein- 

 mal in Europa begegnet, wo sie wohl nur in einzelnen 

 geistlichen Kreisen bekannt gewesen ist. Dass er nicht 

 ursprunglich Algorithmiker ist, ergiebt sich daraus, dass 

 er, wie er sagt, selbst das Ausziehen der Kubikwurzel 

 gef linden hat. Dies findet sich noch nicht bei Alkarchi, 

 der von den bekannten arabischen Schriftstellern derjenige 

 ist, von dem er am starksten beeinflusst zu sein scheint. 

 Von ihm hat er eine grosse Menge Aufgaben entlehnt, 

 die er jedoch mit Selbststandigkeit behandet. Es stimmt 

 auch zu Alkarchis angenaherter Berechnung einer 

 Quadratwurzel (S. 307), wenn Leonardo eine weitere 

 Annaherung an eine Kubikwurzel, von der die Anzahl 



