4. Erstes Wiedererwachen der Mathematik in Europa. 319 



und diese batten gefunden, dass sowohl a? 2 -f- a wie 

 x 2 a Quadratzahlen sind, wenn 



x = m^-^n 2 , a = 4mra(m 2 n 2 ). 



Diese Resultate ergeben sich iibrigens leicbt ausDiophants 

 gewohnlicher Behandlung von doppelten Gleichungen 

 (S. 251 ; siehe auch die erste Aufgabe S. 254) in Verbin- 

 clung mit Euklids Bestimmung von rationalen rechtwinke- 

 ligen Dreiecken. Leonardo gelangt auf einem etwas ver- 

 schiedenen Wege zu deriiselben Resultat, indem er den 

 Satz benutzt, dass die Quadratzahlen Summen der ersten 

 ungeraden Zablen sind. 



Dernnachst kommt es darauf an m und n so zu 

 bestimmen, dass 



41 o o \ 



mn[m* n*) 



einen gegebenen Wert erhalt, im vorliegenden Falle 5. 

 Leonardo beweist zuerst, dass Zahlen von dieser Form, 

 wenn m und n ganze Zahlen bedeuten, durch 24 teilbar 

 sind. Um womoglich Gleichungen zu erhalten, die sich 

 in ganzen Zahlen losen lassen, muss man also die gegebenen 

 Gleichungen mit einem solchen Quadrat multiplicieren, 

 dass das neue a durch 24 teilbar wird. Leonardo 

 multipliciert mit 12 2 und findet, dass 



5.12 2 =4.5.4(5 + 4)(5 4), 



won ach 41 2 + 5.12 2 Quadratzahlen werden. Die gesuchten 

 Quadrate findet man dann durch Division mit 12 2 ; es 

 . 41V . /49V 



smd und 



/31V 



(w 



In seiner sehr allgemein angelegten Untersuchung 

 findet Leonardo Gelegenheit eine allgemeine Bestimmung 

 von der Summe der ersten ungeraden Quadratzahlen bis 

 zu einer gewissen Grenze hinauf zu geben. Leonardos 

 Losung bringt also mehr als wonach er gefragt ist. 



