II INTRODUCTION. 



s'appelle \^ parue principale relative au point singulier a; le 



coefficient A_, de — ' — est le résida relatif à ce point. Si la partie 



principale se réduit à un polynôme de degré m en r^.— ' le point 



singulier ;: r= a est dit un pôle d'ordre m. Si la partie principale 

 comprend un nombre infini de termes, a est un point singulier 

 essentiel. 



Dans le voisinage d'un pôle, le module de la fonction /(^) 

 augmente indéfiniment; au contraire, dans le voisinage d'un point 

 singulier essentiel, la fonction s'approche autant qu'on le veut de 

 toute valeur donnée à l'avance ('). 



En écartant le cas où a est un point singulier essentiel, on peut 

 toujours mettre, dans le voisinage de ce point, la fonction /(^) 

 sous la forme 



/(^) = (..-a)nBo-HBi(^-a)+...], 



q étant nul si le point a n'est ni un pôle ni un zéro, égal à un 

 nombre entier positif si le point a est un zéro d'ordre q^ égal à 

 un nombre entier négatif si ce point est un pôle d'ordre — ^ ; le 

 coefficient B» est supposé différent de zéro. Si ^ = o, la dérivée 



logarithmique — ^^'"^ est régulière au point a; sinon, elle admet 



le point a pour pôle du premier ordre, avec un résidu égal à q. 



2. Point à Vinfmi. — Lorsqu'on veut étudier une fonction 

 /(^) pour les valeurs de z de module très grand, on pose ordi- 

 nairement ^ = -:, et l'on est ramené à étudier une fonction C5(^') 



dans le voisinage du point ^' = 0; mais on peut aussi procéder 

 directement. Appelons domaine du point ce la portion du plan 

 extérieure à une circonférence G ayant son centre à l'origine et de 

 rayon très grand R. Si l'on peut choisir ce rayon assez grand pour 

 que, dans le domaine qui vient d'être défini, la fonction /(^) 

 soit représentée par un développement ne contenant que des 

 puissances négatives de z 



(') E. Picard, Traité d'Analyse, l. II, p. 119. 



