INTRODUCTION. V 



point C3C, que ce point est un pôle ou un zéro. La dérivée loga- 

 rithmique est régulière au point oc, et le résidu est égal à — A-. 



4. Ces définitions étant posées, rappelons encore les théorèmes 



suivants : 



I. Toute fonction analytique uniforme y régulière pour toute 

 valeur finie de z et pour :: = oc , est une constante. 



IL Toute fonction analytique uniforme, n'ayant qu*un 

 nombre fini de points singuliers, est définie, à une constante 

 additiçe près, quand on connaît les parties principales rela- 

 tives à chaque point singulier. 



IIL Toute fonction analytique uniforme, n'ayant d'autres 

 points singuliers que des pôles, est une fonction ration- 

 nelle {^). 



IV. Si une fonction analytique uniforme n^a qu'un nombre 

 fini de points singuliers, la somme des résidus relatifs à ces 

 points singuliers, et au point à l'infini, est nulle. 



Pour établir celte dernière proposition, décrivons, du point 

 z z= o comme centre, une circonférence G renfermant tous les 

 points singuliers à distance finie de/(^), et considérons l'intégrale 



//(.)rf.. 



i 



prise le long delà circonférence G, l'aire du cercle étant à gauche. 

 Gette intégrale est égale, d'une part, d'après le théorème de Gau- 

 chy rappelé plus loin, au produit de 2-/ par la somme des résidus 

 def[z) relatifs à tous les points singuliers à distance finie; d'autre 

 part, d'après la définition du résidu au point oc, à — 211 /R^. La 

 comparaison de ces deux valeurs de l'intégrale donne le théorème 

 énoncé. 



Appliquons ce théorème à la dérivée logarithmique w = ,^ 



d'une fonction rationnelle r de :?. Les résidus de la dérivée lo^ra- 



(') E. Picard, Traité d'Analyse, t. II, p. laS. 



