VI INTRODUCTION. 



rithmique proviennent exclusivement des pôles et des zéros de <^\ 

 nous avons remarqué d'ailleurs qu'un zéro d'ordre m de v donne 

 un résidu égal à -h m pour i^p, et qu'un pôle d'ordre n de v donne 

 un résidu égal à — ii pour w. Le théorème IV conduit donc à la 

 proposition élémentaire suivante : 



V. Le nombre des zéros cl' une fonction rationnelle de z est 

 égal au nombre des pôles, chacun de ces zéros et de ces pôles 

 étant compté avec son degré de multiplicité. 



Nous savons aussi qu'on peut former une fonction rationnelle 

 avec des pôles, et des parties principales correspondantes, données 

 à l'avance d'une façon arbitraire : il suffit, pour obtenir cette fonc- 

 tion, de faire la somme des parties principales données relatives à 

 tous les pôles. On peut de même former une fonction rationnelle 

 avec des zéros et des infinis donnés à l'avance, pourvu qu'ils 

 soient en nombre égal. 



5. La notion d'intégrale définie a été étendue aux fonctions 

 d'une variable complexe par Cauchj, qui a démontré le théorème 

 fondamental suivant : 



Etant donnée une fonction uniforme f{z) régulière en tous 

 les points à l'intérieur d'une aire A, limitée par une ou 



plusieurs courbes distinctes, l'intégrale j f{z')dz, prise le 



long du contour total de A dans le sens direct (en laissant à 

 gauche l'aire enveloppée)^ est nulle. 



Plus généralement, si la fonction f(^z) est uniforme et régu- 

 l ière en tous les points d'une aire telle que la précédente, sauf 

 en un nombre fini de points qu'elle admet pour pôles ou pour 



points singuliers essentiels, l'intégrale ( f{z)dz, prise le long du 



contour total de A dans le sens direct, est égale au produit de 

 271 i par la somme des résidus de/(^) relatifs à ces points singu- 

 liers ('). 



(•) E. Picard, Traité d'Analyse, t. II, p. ii8. — Hermite, Cours d'Analyse, 

 4* édit., p. 109. 



