INTRODUCTrOX. VII 



Il est à remarquer que renoncé précédent s'applique encore au 

 cas où l'aire A s'étend à l'infini, pourvu qu'on ajoute aux résidus 

 relatifs aux points singuliers de f{z) à distance finie le résidu de 

 f{z) relatif au point oc. Par exemple, supposons que l'aire A soit 

 l'aire illimitée extérieure aux deux courbes C, G'; so\l f{z) une 

 fonction régulière dans A, sauf en un nombre fini de points a, 

 ao, ..., a^, les résidus correspondants étant R, , Ro, ..., R^^. Le 

 point 00 peut être un point ordinaire pour f{z) ou un point sin- 

 gulier, mais, dans ce cas, c'est nécessairement un point singulier 

 isolé. Soit R^ le résidu correspondant. Ajoutons aux contours G, 

 G', un contour auxiliaire G'^ renfermant les deux contours primi- 



Fie. a. 



tifs G, G', ainsi que tous les points singuliers a,, a^, ..., a^. A 

 l'aire finie A', limitée par les trois contours G, G', G", appliquons 

 le théorème de Gauchj; il vient 



f f{z)dz+ f f{z)dz-^ f f{z)dz = iT.i(R,^R,-^...^R,), 



^{C) ^(C) -\C") 



les intégrales étant prises comme l'indiquent les flèches. Mais, 

 d'après ce qu'on a vu plus haut sur le résidu au point oc, la der- 

 nière intégrale a pour valeur 



f f{z)dz=-i-iK^- 



*^(C") 



il reste donc 



f f(z)dz^ f f{z)dz=iTj{Ri-^-R2-^...-hRJ; 

 c'est la formule que nous voulions établir. 



