INTRODUCTION. 



6. Soit/(^) une fonction uniforme dans une aire A, située tout 

 entière à distance finie ou s'étendant à l'infini, mais limitée par 

 une seule courbe G, qui est située tout entière à distance finie. 

 Supposons que y^(^) n'admette dans A qu'un nombre fini de 

 points singuliers, et soient R| , R2, ..., R/ les difi'érents résidus de 

 cette fonction dans A, y compris le résidu relatif au point à l'in- 

 fini, si l'aire A est illimitée. Considérons l'intégrale 



^{z)=£f{z)dz 



prise suivant un chemin situé tout entier dans l'aire A et joignant 

 deux points Zq^ ^ de A; laissant fixe la limite inférieure ^0 ^e 

 l'intégrale et faisant varier la limite supérieure ^, ^ {z) devient 

 une fonction analytique de z qui dépend aussi, dans une certaine 

 mesure, du chemin d'intégration. Si tous les résidus de /(^) dans 

 l'aire A sont nuls, il résulte immédiatement du théorème de Gauchy 

 que deux chemins quelconques, situés tout entiers dans A et 

 allant du point ^0 au même point g, donnent la même valeur pour 

 l'intégrale; F(^) est donc aussi une fonction uniforme dans 

 Faire A. 



Il n'en est plus de même si tous les résidus de f{z) dans l'aire A 

 ne sont pas nuls; quand on tourne autour d'un point singulier où 

 le résidu est égal à R, l'intégrale F(:^) augmente de irdYi. Gette 

 intégrale admet donc, en chaque point de l'aire A, une infinité de 

 valeurs qui sont comprises dans une formule telle que 



F(^) = [F(^)] -4- i^i I m,R, 4-. . .-^ ;n,.R,.j, 



[F(:;)] étant une de ces valeurs et ms,m2, ..., w/ des nombres 

 entiers quelconques, positifs ou négatifs (<). Les quantités 



27rfRi, . . ., 1-iKi 

 sont appelées périodes de l'intégrale ff{z) dz. L'étude des inté- 



(') Hermite, Cours d'Analyse, 4« édition, p. i( 



