INTRODUCTION. IX 



grales de fonctions algébriques nous conduira à des périodes d'une 

 nature tout à fait difTérente. 



7. Riemann a déduit de la formule de Green une nouvelle for- 

 mule dont nous aurons à faire usage. Soient A une aire finie limitée 

 par un contour simple C, P et Q deux fonctions réelles de x et 

 (le j^, finies et continues, ainsi que leurs dérivées, dans l'aire A et 

 sur le contour G lui-même. D'après la formule de Green ( < ), on a 



l'intégrale double étant étendue à l'aire A, et l'intégrale curviligne 

 étant prise le long du contour C dans le sens direct. 



Soit maintenant 



/(^) = X + tY 



une fonction analytique de la variable complexe g régulière en 

 tous les points à l'intérieur de A et sur le contour C. 

 Faisons, dans la formule de Green, 



elle devient 



'=^£' "■'-%■■ 



i"-/ItSf-f£l-* 



(C) ^ ^\k\ 



mais on a 



d\ d\ dX __ dY 



clx dy dy dx 



et, par suite, 



L intégrale f XclY^ prise le long du contour G dans le sens 

 direct, a donc une valeur positive. 



(«) Hermite, Cours d'Analyse, 4« édition, p. 66. — E. Picard, Traité d'Ana- 

 lyse, t. I, p. 104. 



