SURFACES DE RIEMANN A DEUX FEUILLETS. 3 



Les deux déterminations ?/, et U2 ne sont donc pas fonctions uni- 

 formes de z dans le plan indéfini des z', mais, dans toute région à 

 contoiw simple ne contenant pas Forigine, elles sont des fonctions 

 analytiques uniformes de z. 



2. En suivant la méthode générale donnée par Riemann, on 

 peut remplacer le plan simple, sur lequel u n'est pas une fonction 

 uniforme de z^ par deux feuillets indéfinis superposés dont l'en- 

 semble constitue une surface unique, sur laquelle la fonction u 

 devient uniforme, et qu'on nomme surface de Riemann. 



Prenons deux plans V^ et Po limités chacun par un cercle de 

 rayon R aussi grand qu'on le veut, ayant pour centre l'origine O 

 d'un système d'axes Ox et Ojk; puis découpons dans chacun de 

 ces plans une petite ouverture rectiligne suivant le ravon Ox^ 

 aibiOcidi dans le premier, «2^20006^2 dans le deuxième, ces 

 ouvertures ayant une largeur infiniment petite : nous obtiendrons 

 les deux feuillets séparés représentés dans la fig. 2. 



Fis:. 2. 



Si l'on part d'un point Zq du premier plan avec la détermina- 

 tion u^^ de la fonction w, cette détermination, suivie par conti- 

 nuité, est une fonction uniforme de u sur le plan ou feuillet P^, 

 car, à cause de la bande découpée a^b^Oc^d^, la variable ^ ne 

 peut pas tourner autour de O ; de même, la détermination Uo est 

 uniforme sur le plan Po. Nous imaginerons qu'en chaque points du 

 plan P, on inscrive la valeur de la détermination «, ainsi obtenue 

 par continuité et en chaque point z du plan P2 la valeur de la dé- 

 termination Wo. 



Il est utile de remarquer que les valeurs de la détermination Ui 

 aux points situés en face l'un de l'aulre sur les bords opposés de 



