4 CHAPITRE I. 



l'ouverture a^b^c^d^ sont égales et de signes contraires. Ainsi, 

 en appelant i^<(^,) et ?/, (ci ) les valeurs de u^ aux points 61 et c< 

 situés en face l'un de l'autre, on a 



i^i(^i) = — ai ( Cl). 



En effet, partons de bs avec la détermination ii^ (6,) inscrite en 

 ce point : si la variable :; décrivait le contour ^i EF^, entourant O 

 et revenait en ^,, la valeur finale de a serait — u^{b^); mais z 

 ne peut pas revenir en b^ à cause de l'ouverture a^b^c^d^\ le 

 point z doit s'arrêter au point c^ sur le bord de cette ouverture en 

 face de 6, . Comme l'ouverture a une largeur infiniment petite, la 

 valeur u^{c^) trouvée en c, est infiniment peu dilTérente de celle 

 qu'on trouverait en b^ en achevant le tour; on a donc 



De même, sur le plan Po, on a 



^^2(^2)= — «2(^2)- 



Gomme les valeurs de u^ et u-, correspondant à une même va- 

 leur de z sont égales et de signes contraires, on a enfin 



ai(ci) = — u^[c.2)= ihib^). 



Nous avons ainsi obtenu, sur deux feuillets entièrement sé- 

 parés, le tableau complet des différentes déterminations de u. 

 Riemann réunit ces deux feuillets en une surface unique par le 

 procédé suivant : Plaçons le feuillet P, au-dessus de P2, réunissons 

 par une bande de surface les deux bords a, b^ et d2C.2', puis par 

 une autre bande de surface traversant la première les deux bords 

 «2 ^2 et d^ Ci . Nous obtiendrons ainsi une surface unique composée 

 de deux nappes planes qui se traversent suivant une ligne double 

 ou ligne de passage dirigée suivant un rayon. Pour se représenter 

 cette surface, on n'a qu'à imaginer les deux feuillets placés à une 

 certaine distance l'un au-dessus de l'autre. On peut imaginer, par 

 exemple, que les bords O^i^i etOc2<^2 (fig- ^) sont raccordés par 

 une portion de surface engendrée par une droite parallèle aux plans 

 P, et Po s'appujant sur les deux directrices rectilignes 00, O 



