SURFACES DE RIEMANN A DEUX FEUILLETS. 7 



dire qu'il se projette en z et qu'il est dans le feuillet supérieur ou 

 le feuillet inférieur, on dit souvent le point (^, u^) ou le point 

 (;, U2) en indiquant à côté de la variable indépendante z celle des 

 déterminations que l'on prend pour w, ce qui revient à indiquer 



Fig. 4. 



le leuillet dans lequel on place le point ;:. On appelle point ana- 

 lytique {z,u) l'ensemble d'une valeur de z et de l'une des déter- 

 minations correspondantes de la fonction u. D'après cela, à 

 chaque point analytique correspond un point unique de la surface 

 de Riemann et réciproquement. 



En particulier, à chaque point y de la ligne de passage corres- 

 pond un point analytique qui est différent suivant que ce point y 

 est considéré comme appartenant à l'un ou à l'autre des feuillets 

 qui se croisent suivant OL ; c'est ce que nous avons expliqué plus 

 haut en détail. Au point O lui-même les deux feuillets se réunis- 

 sent; pour ^ = o, les deux points analytiques {z, u^) {z, U2) se 

 réunissent en un seul (o, o). Ce point se nomme point de ramifi- 

 cation de la surface de Riemann. 



Gomme le rayon R est aussi grand qu'on le veut, les considé- 

 rations précédentes s'étendent à tout le plan des ^, qui se trouve 

 ainsi recouvert de deux feuillets indéfinis soudés l'un à Tautre le 

 long d'une ligne de passage OL indéfinie dans le sens OL. 



4. Pour étudier la fonction u à l'infini, on pose ^ = -, et Ton 

 est ramené à étudier la fonction 



a'- = l. 



